labiés, M. Cbazallon, ingénieui-b y drograpbe de la
marine, a imaginé, pour trouver direclement ces cotangentes,
le moyen mécanique suivant, qui est d’un
usage facile. On trace un qu art de cercle OAB [fig. 3).
Sur la ligne OB on prend des parties 0 C, 0 D, OE
proportionnelles aux cotangentes de 83'’, 80", 75", par
exemple, en faisant le rayon du cercle égal à OB; on
trace du point 0 comme c e n tre , avec ces différentes
lignes pour rayon , des arcs de cercle ; on multiplie
du reste autant que l’on veut les points à désigner sur
la ligne 0 B ; en fin, l’on remarque que la cotangente
de 45" étant égale au rayon, 0 B représentera la cotangente
de 45", et que les cotangentes des angles
plus petits que 45" seront égales à une ou deux fois
le rayon 0 B , plus une certaine fraction de ra y o n ,
il suffira donc, pour avoir les cotangentes de ces dern
iers, de calculer, une fois pour toutes, ces fractions
de rayons. Ce sont ces grandeurs que l’on apportera
ensuite sur les lignes 0 ' B' et 0 ' B", suivant qu’elles
appartiennent à des cotangentes égales à une fois ou
deux fois le ray o n , plus une fraction de rayon. Ainsi,
la cotangente de 40° dans un cercle dont le rayon est
0 B, sera égale à 0 B -f- 0 ' F. Celle de 20" dans le
même cercle sera égale à 2 0 B -{- 0 ' G.
Une fois que l’on a construit un q u a rt de cercle ou
un demi- cercle d ’après les principes que nous venons
d ’exposer, rien n ’est plus simple que de trouver la
cotangente d’un angle quelconque, dans un cercle
dont le rayon est donné. En effet, à partir du point B
il suffit de prendre sur l’arc A B une corde égale au
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rayon de la circonférence donnée, tel que AP, de faire
B K {ftg. 3) = A P {fig. 2) et de joindre ensuite B et K
par une ligne droite. On aura immédiatement la cotangente
d’un arc de 75°, par exemple, dans le cercle
dont BK est le rayon, en prenant la grandeur EL. En
effet, les deux lignes E L et B K étant parallèles, les
deux triangles semblables 0 E L et 0 B K donnent la
proportion
E L : BK :: OE : OB
Or, 0 E étant la cotangente d ’un angle de 75° dans
un cercle dont 0 B est le rayon, E L sera aussi la cotangente
d’un arc de 75° dans un cercle dont B K est
le rayon.
Par la même ra iso n , pour les angles plus petits
que 45°, la cotangente d’un arc de 40 par exemple,
dans un cercle dont le rayon est B K , sera égale
à B K 4- F ’ N , celle d’un arc de 20° sera égale à
2 . B C 4- G’ M.
Cette manière de trouver les cotangentes est souvent
d’un trè s -g ran d avantage dans les constructions
graphiques qui servent à faire le point. En effet,
pour construire les deux segments d’angles capables
d’un angle donné, nécessaires pour la recherche du
point X, on n ’a besoin que d’un compas, lorsqu’on
a eu le soin de joindre, sur un plan préparé d’avance,
tons les points remarquables de la côte, et d’é-
lever une ligne perpendiculaire sur le milieu de
chacune de ces droites. Les ingénieurs-hydrogra-
I ly c lr o g r a iiliic , I. 2