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(48) (b—b') {a—v') (u—-y") {a"—b”)=.{b—b") {a—b’) (a"—v”) (v— v’)
(49) (v—v') (a'— b’) (b—b") (a"—v")=(v—v") (a’—v’) (a"—b") (b—b')
(50) (a—a') (b'—v') (v—v") (b"—a")=(a—a") (b’—a’) (b"—v") (v—v')
(51) (1 + 66’) (a’—v’) (v—v”) (a”—6”) ^ ( t + ?Ç”) (a’—b') (a’’—v") (v—v’)
(52) (1 + w ’) (a’—b’) (b—b") (a’’—v") ^ ( I + ot”) (a’—v’) (a’’—S”) (b—b’)
(53) (1 + aa) {b’—v’) (v— v’’) (b’’— a’’)'^(-i + aa’’) (b’—a’) (b’’—v’’) (v—v’)
Des équations (48) (49) (50) combinées avec les
inégalités (51) (52) et (53) on déduit :
l)—b '> i+ b b " v— v > i - \ - v v ” a—d > i+ a d '
b—b”<Ci-\-bb' V—u " < l+W a—d < i i - \ - a d
Si actuellement, dans ces dernières inégalités, nous
remplaçons b b' b”, v v v”, a d a par les valeurs
sin. C sin. d sin. d ' sin. y
COS. Ç ’ COS. d ’ COS. d ' ’ COS. y
etc.
et si nous réduisons en nous rappelant les formules
connues
sin. (A—B) = sin. A cos. B — cos. A sin. B
COS. (A — B) = COS. A COS. B + sin. A sin. B
COS. 2 A = 2 sin. A cos. A
on verra facilement que les inégalités précédentes deviendront
(54) sin. 2 (^— d) ^ sin. 2 (Ç— ^")
(5 5) s i n . 2 (y — y ) ^ s i n . 2 (y — y")
(5 6 ) s i n . 2 ( a— a ' ) ^ s i n . 2 ( a — a")
Telles sont les inégalités q u i, combinées avec les
équations (48) (49) (50), indiquent tous les cas d ’impossibilité
du problème. Or, ces inégalités seront satisfaites
toutes les fois que, des stations à la mer, on
aura pu relever les points à terre sous des angles
différents, ce qui au ra toujours lie u , excepté dans
le cas particulier où les trois points à terre ou an
moins deux d’entre eux, se touveront dans le même
alignement. Nous reviendrons plus tard sur ce cas
particulier, et nous verrons comment l’analyse conduit
à la construction graphique qui, comme on le
sait, se trouve bien simplifiée. Les conditions d’impossibilité
sont donc exprimées par la simultanéiié
des équations (48) (49) (50), qui se réduisent à deux,
les deux premières étant identiques.
§ 53.—Par-là, il nous est déjà démontré que tontes
les fois que la construction graphique sera insuffisanle
pour la détermination d’une des stations à la mer, B
par ex emp le, elle le sera encore pour la troisième
station C. Î1 restera à l’essayer p our la détermination
du point A qui avait été fixé d’avance, et dès-lors la
distance arbitraire à prendre ^devra être la distance
d ’un des points B ou C à un des trois points à terre.
Or, si dans les équations, qui indiquent qu’il y a
impossibilité a se servir des procédés graphiques iu -
- È ’ I