Si actuellement nous faisons varier la position du
point B sur la ligne B E, et si nous répétons les mêmes
constructions que précédemment, les points M, M' et
N varieront, et les lieux géométriques de tous les
points M, M' et N que l’on obtiendrait ainsi en faisant
varier B sur la ligne E B, iront se couper en un
ou plusieurs points, tels que K; admettons que ces
courbes se coupent en un seul point K ( ce qui serait
vrai si ces lieux géométriques étaient des lignes
droites).
Si nous nous rappelons que la ligne E B a été menée
arbitrairement, il sera facile de comprendre que
si nous répétons toutes ces mêmes constructions èn
fixant d’avance le point B en B" sur une nouvelle ligne
E B ', nous obtiendrons en difinitive une nouvelle position
pour le point K, qui sera je suppose K , et enfin
en faisant prendre à la droite E B toutes les positions
possibles autour du point E, on obtiendra une suite
de points K, K', etc., formant un lieu géométrique
dont les intersections avec la ligne A H fixeront les
positions pouvant convenir au quatrième point à
terre.
Une fois que le point H sera fixé, on décrira sur
E H un segment d’arc de cercle capable de l’angle
donné E B M, le deuxième point de station à la mer
devant se trouver nécessairement sur cet arc de cercle,
on pourra le supposer d’abord en B', par exemple,
par suite les deuxième et troisième points à
terre viendront en F' et G’, et si avec les trois points
F, F , G nous cberclions à fixer les troisième et qu a -
irième stations à la mer, nous aurons les points c et
d. Chaque nouvelle position assignée au point B' sur
le cercle E B' H donnera aussi de nouvelles positions
pour c et d, nous aurons donc deux nouveaux lieux
géométriques sur lesquels devront se trouver les troisième
et quatrième stations à la mer. Mais d’un autre
côté, le point H étant fixé, les stations devront déjcà
être sur les arcs de cercle décrits sur E H et capables
des angles observés E C M, E D M', les intersections
de ces cercles avec les lieux géométriques des points
c et d, fixeront définitivement les troisième et quatrième
stations à la mer, par suite le problème sera
résolu.
Au lieu de chercher à la fois les troisième et quatrième
stations a îa mer et de construire les deux
lieux géométriques c et d, on remarquera que la troisième
station étant trouvée, tous les autres points
s en déduisent, la position de la quatrième station sera
donnée par 1 intersection de trois arcs de cercle qui
devront se couper en un seul et même point. Cette
condition indique que la solution du problème n ’est
pas toujours possible, c’e st-à -d ire que si les angles
que nous supposons observés aux quatre stations à
la mer étaient donnés au hasard, il ne serait pas possible
d assurer d’avance que l’on puisse toujours définir
la position de huit points de manière à satisfaire
aux données du problème; dans le cas d’observations
réelles faites sur le te rra in , la condition de
ces Irois cercles se coupant en un même p o in t, doit
êtie satisfaite, et elle offre une garantie que la con