Einflufs auf die Verschiedenheit von MK nach der
Verschiedenheit von p und <p durch z nicht gehoben
werden kann.
23. Unter gewissen Umständen und bei gewissen
Verändernngen der Gleichung kann jedoch allerdings
C einen beständigen Werth erhalten, z ist in derselben
die Normallinie der krummen Linie für den Punct B.
Man ziehe nach eben diesem Punct auf P a den Perpendikel
BD. Dieser ist nun = p sin. q>, und wenn
z etwas beitragen soll, dafs MK einen beständigen
Werth erhält, so mufs z zu B D in einem festen Ver-
hältnifs stehen. Es sey a irgend eine ganze oder
gebrochene Zahl, und z = a p sin. <p. Substituirt
man diesen Werth in der obigen Gleichung, so wird
p sin. <p , i
dadurch in ihr der Bruch ~ 1 in — verwandelt,
und ist nun im Nenner des Werths von C
p2 sin. q>*\
z * fl*
und
} = A,
B,
so g|nd _1_ 5 A und B beständige Gröfsen, und es wird
a
______ p__________ ___________ « p tang, <p_______
fi f C0"‘—A + B + - S A + | «B + — |tang.<jD i \usui.<p a* fi) ( f a fi) )
Diese Gröfse verändert sich, wenn p und q> sich
verändern, obgleich für einerlei p nur wenig und desto
weniger, je gröfser q> wird. Einen beständigen Werth
erhält sie nur dann, wenn
l) blos q> eine veränderliche, hingegen p eine beständige
Gröfse und A == o ist. Dann aber wird
i pa sin. cp1 — — ---------- = i — P--a- -s-i-n—- <-P—2 , m.i t,h i.n fx = i .
fx z J fx' z fx
Dieser Fall tritt also nur ein, wenn gar keine Brechung
statt findet.
2) Wenn p = — jxz und z eine constante Gröfse
= a, also die Curve, wodurch die Brechung geschieht,
a
ein Cirkel ist. In diesem Falle wird C = —".
3) Wenn die Strahlen parallel auffallen, also p = X
und cp =■ o ist. Unter diesen Umständen wird C =
a ol
--------- . ----------------------------------------------- — — * ) .
fx A & I ' '1
* ' ' ' J a a I I f i l l
*) Gegen die obigen Sclilüsse liesse sicli einweuden, dafs doch von Des
C a rte s (Geometria. Francof. ad M. 1095. p. 50 sq.) vier Arten von
krummen Linien beschrieben sind, wodurch alle, aus einem gewissen
Punct ihrer Axe auf sie fallende Strahlen in einerlei Brennpunct vereinigt
werden sollen, und dafs in H e r s c lie l’s Werke vom Lichte
(S. 98 der Deutschen Uebers.) aus der allgemeinen Formel für die
Brennlinie der Curven eine Gleichung für eine krumme Linie der
vierten Ordnung abgeleitet ist, wovon dort angegeben wird, sie hebe
die Abweichung aller, von einerlei Punct ausgehenden Strahlen, wo
der Punct in ihrer Axe auch liegen möge. Allein jene krummen
Linien des Des C a r te s sind keine stetige Curven, sondern blos aus
Puncten zusammengesetzte Figuren, die keine Tangenten und Normallinien
haben. Des C a rte s schreibt ihnen aber diese zu, und gründet
auf die unrichtige Voraussetzung, dafs sie dieselben besitzen, seinen
Beweis der Art ihres Brechungsvermögens. Die von H e rse h e 1 gegebene
Gleichung ist blos aus der willkührlichen Annahme, dafs die
sämmtlichen Abscissen der Brennlinie für irgend eine Curve == o
werden können, entwickelt, und es fehlt dabei der Beweis der Möglichkeit
einer solchen Curve als einer stetigen Gröfse.