i
Berechnet man auf dieselbe Art den zur Summe
der Brechungswinkel CBM, DCM . . . iEM gehörigen
Bogen, der mit I I bezeichnet seyn möge, so
erhält man:
n , * 1 1 = ------ n - 1* a- + 7(a(-a—-—--ii)m Ca—2)m (a- i))m',~,l
fpsin.ylaf » ■ J . 1 ______t--------1
+ A| n ) l a 3^ (a—i) 3m3 ~ ( a—2)3m5 ' (a—(v— i))3m, I
fpsin.i/>I5f i 1 . 1 1 ____ \
+ B 1_ i a® *Ya—i')5m5_‘ Ca—2')5m7 "^((aa—-(Ov—- 0i)))5my+2*
(a— i ) 5m5 ' (a—2)£
rpsili .9y iU + J ( __1____, ---- 1 —
rp sin. gra i to ■+• i +
+ V » 1 \ a 2 05 1 ^ ((a— i)ui) 2(0+1
(a_ 2) * » + . m * » + 3 * * ’ ■- (a—(v-—i ) ) 2tü + I ^ + I
Der Bogen 11 abgezogen von I läfst zum Rest den
Bogen B N des Winkels <?. Die erste der Reihen für
diesen ist:
psin.y f____l______I 1_______ I_____ 1 :.M,
n (a(a—i)m° (a—i) (a—2) m (a 2) (a 3)
. . . i +
3) nv
(a -v ) (a— (v— 1) )m 2 y *5'
Sucht man auch die übrigen Reihen, deren Coëfficiënten
A, B . . Z sind, und vergleicht dann die Summe
derselben mit dieser, so findet man in dieser den
Ausdruck für den Sinus des Winkels 3. Die Nenner
der Brüche, woraus sie besteht, machen zwei Progressionen
aus: eine arithmetische, deren Glieder zu
Differenzen (a— 1) 2, (a —2) 2 , (a — 3) 2 u. s. w.
haben, und eine geometrische, die mit 1 anfängt und
m zum Exponenten hat. Setzt man m = 1 , so verwandelt
sie sich in den Ausdruck für den Sinus des
ti n f
Richtungswinkels, den der Strahl P B machen würde,
wenn er, blos gebrochen durch n, in grader Richtung
durch die Halbkugel gehen würde. In diesem Falle
x „ „ ( p 2 sin. 0?*)
ist BMi (Fig. 1 ) e= cos. CBM = < 1 --------- -—\— C,
und diese Wurzelgröfse die Gränze, der sich die Summe
der Glieder der Reihe mit jedem folgenden immer mehr
nähert. Die Reihe drückt sin. 3 durch ein Product
p sin. cp
aus ------n----- und Brüchen des Halbmessers a aus.
In der Reihe für sin. 3, der geschichteten Kugel tritt
an die Stelle des beständigen Halbmessers ein Product
aus demselben iu die veränderliche Potenz m v. Die
Gränze der Summe dieser Reihe mufs daher der
vorigen analog und = ^ |( t — P S s in - <P’>) seyn.
14. Wir haben jetzt endlich noch den Werth von
v zu suchen, um alle Gröfsen zu besitzen, die zur
vollständigen Bestimmung der Bahn des Strahls durch
die Halbkugel erforderlich sind. Da der letzte Winkel
M iF , den der Strahl beim Uebergange von der einen
Seite des Perpendikels Mi zur andern macht, ein
rechter, oder
p sin. cp
(a—-v) m T n
p sin. cp
1 ist, so ist ----------
11
. p sin. cp
(a v) mv und log. ------== log. (a — v) -f- v log. m.
Wenn man in dieser Gleichung log. (a—v) durch eine
unendliche Reihe ausdrückte, und dieselbe sich in
Verbindung mit v log. m umkehren liesse, so dafs v
durch eine unendliche Reihe bestimmt würde, deren
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