Diei1 Werth von X läfst sich also auf folgende Art
ausdrücken:
X —
p sin. cp
( p 2siu. , . p sin go | ^
sin. -J2 ang. sin.y -J1— aä '^ eT~( ' 2anS-sin' “ — + 9>•
Im Nenner dieses Bruchs steigt nnd fällt bei der
Brechung durch eine ungeschichtete Kugel der Sinus
des Winkels 8 im umgekehrten Verliältnifs mit dem
Zähler p sin. <p, indem für einen solchen brechenden
Körper mT eine beständige Gröfse ist. Bei der Veränderung
des Products p sin. cp wird also X sehr
verändert. Hingegen bei der Brechung durch eine
geschichtete Kugel wird die Veränderung der Gröfse
p sin. cp durch eine entgegengesetzte der veränderlichen
Potenz mT gemindert, also der Werth von X
einem mittlern, constanten mehr genähert. Die zweite
Gröfse des Nenners jenes Bruchs, der Winkel y, hängt
ganz von p sin. cp des Zählers ab, und bringt keine
Verschiedenheit in dem Werthe von X hervor. Die
dritte Gröfse des Nenners, der Winkel cp, steht aber
darin isolirt. Der Sinus desselben verändert sich zwar
auf einerlei Art mit dem einen, ihm gleichen Factor
sin. (p des Products p sin. cp des Zählers. Allein mit
den andern, der Entfernung p | steht er nicht in einem
gewissen Verhältnifs. Die Folge ist also diese, dafs
die, bei der Brechung durch jede ungeschichtete Kugel
eintretende Abweichung der Strahlen von einem gemeinschaftlichen,
unveränderlichen Brennpunct durch
eine geschichtete Kugel gemindert, doch nicht ganz
aufgehoben wild,
16. Die Richtigkeit dieses Schlusses wird sich
noch näher zeigen, wenn wir die Gleichung des
vorigen § in eine solche übergehen lassen, worin X
durch p, sin. cp, a, m, v ausgedrückt ist. Diese
Umwandlung geschieht durch folgende Formeln:
— a sin. 7________ '
^ ^?=' zp sin. cp. cos. (2 8, -}- 2 /) z t cos. cp. sin. (2 ^ -j- 2 7)
cos. (2 <2 + 2 y) = cos. 2 8- cos. 2 7 sin. 2 8- sin. 2 y.
sin. (2 8 + 2 7) = sin. 2 8. cos. 27 + cos. 2 8. sin. 2 7.
sin. 2 <2 = 2 sin. 8■ cos. 8.
cos. 2 8 ~=- cos. 8 — sin. 8 *•
sin. 27 = 2 sin. 7. cos. 7.
cos. 2 7 = cos. 7— sin. 7*.
((cos. <2*— sin.3*)(cos.ys—sin.^j) I
1 sin (p \ 11 ~ ( — 4 sin. 8. cos. 8 sin. 7 cos. 7 H
(2 sin. 8. cos.8 (cos. 7' sin. r ) ) l
+ C0S‘<P 2 sin>y, cos.y(cos. 8*— sin.5’)) j
Also
X=asin.y:
Nun ist, wrenn wir mv = Q setzen,
2 sin. 7*
cos. 8 2 — sin. 8 * = q ; 1 >
sin. 7 ( sin. 7’)
sin. 8• cos. 8 = q V j 1 — Q1 ) ’
cos. 7 = / (1 — sin. 7’)>
cos. 7*— sin. y* = 1 — 2 sin. 7*.