In dieser Gleichung läfst sich für das letzte Glied d cp
ein Ausdruck setzen, der, gleich den übrigen Gliedern,
aus endlichen, in das Differenzial d y multiplicirten
d sin cp
Gröfsen besteht. Es ist nehmlich d cp — --c-o--s-. --c-p- i
a sm. y
sin. <p = ---------- , d sin. cp
a cos. y. d y
, folglich d (p
a. d sin. y
P
a cos. y. d y
p cos. cp
( 2 cos. y (1 -j- alog. in. sfn. y) j .-j- a cos. y\
/ maT V'
c sin. y*}
v m” )
p COS. <f> L
Da r = 2 8 + 2 y + q> — 2 R, mithin d r =
s d ^ + a d y ip d (p ist, so ergiebt sich aus den
obigen Werthen von d 8, und d <p zugleich
(— 2 cos. y (1 -p a log. m. sin. y) __ a cos. y )
d t — d y . c sm. y'\ + 2 -f
pcos. <pj
Setzen wir in diesen Werthen von d 6 und d r
2 cos. y (1 -j- a log. m. sin.) a cos. y __ ^
1 1 m1 v ~ P C°S- 9 ! j
so erhalten wir für b h folgenden, blos aus endlichen
II — 1
a cos. y -a-- -—--- R- •
Gröfsen bestehenden Werth: b h
19. Aus dieser Formel erhellet, dafs b h nach
dem verschiedenen Verhältnifs von sin. y gegen cos. y
entgegengesetzte Werthe bekömmt. Ist R positiv und
kleiner als 1 , oder auch gröfser als 2 , so wird b h
negativ. Im entgegengesetzten Fall geht b h in den
positiven Zustand über. Für R == 1 wird b h = o.
Negativ und positiv ist aber b h in Beziehung auf h i.
Nehmen wir h i für positiv an, und ist bei sin. < p= o.
R gröfser als 1 , so fällt der Punct h der Brennlinie
oberhalb der verlängerten Axe M i, solange R > 1
bleibt, hingegen unterhalb dieser nach C, wenn R ^ 1
wird, und in dieselbe bei R = i | Die geschichtete
Kugel hat also eine doppelte Brennlinie: Eine für die
Strahlen, die unter einem kleinern Winkel einfallen,
und Eine für die, welche die Kugel unter einem gröfsern
Winkel treffen. Jene liegt in dem angeführten Fall
unter, diese über der verlängerten Axe des brechenden
Körpers. Die ungeschichtete Kugel hingegen hat nur
eine einzige Brennlinie, die mit der letzten der beiden
vorigen in der Lage übereinkömmt. Für sie ist nehmlich
2 cos. y . a cos. y
r — ----------(- ----- ---s-m--.- --y-- *--) -r~ ~ --p-- --c-o-s--. --c-p. Denn wenn
M ' f i 1 “ M a 5
v aufhört, eine veränderliche Gröfse zu seyn, so wird
a log. m sin. y — o und mT eine beständige Gröfse
== M. Dieser Werth von R nimmt immer weiter ab,
je mehr sin. <p wächst, während er umgekehrt bei der
geschichteten Kugel durch die Zunahme von sin. <p,
die nach einem gröfsern Verhältnifs als die Abnahme
von cos. cp erfolgt, vergröfsert wird. Wenn also bei
der ungeschichteten Kugel R für sin. q> = o gröfser
als 1 ist, so bleibt R dies fortwährend bis zur entgegengesetzten
Gränze, und damit dauert zugleich der
negative Zustand von b h fort. Die Strahlen eines
leuchtenden Puncts, die durch eine geschichtete Kugel