11. Bei unsern bisherigen Untersuchungen nahmen
wir an, dafs die Strahlen des leuchtenden Puncts aus
einer p o s itiv e n Entfernung zur brechenden Kugel
gelangten. Wir haben jetzt den Fall zu betrachten,
worin die Entfernung n eg a tiv ist. Dieser tritt dann
ein, wenn auf die vordere Fläche der Kugel nicht, wie
im vorigen Fall, divergirende Strahlen fallen, sondern
convergirende, die in einem Punct der verlängerten
Axe hinter der Kugel Zusammenkommen. Ein solcher
Strahl ist O P (Fig. 2), der vom Punct O ausgeht und
die Axe A P der Kugel in der negativen Entfernung
M P = p und unter dem Winkel B P M t = ^ schneidet.
Nachdem er den Weg B n l durch die Kugel genommen
hat, kömmt er in I nach der Richtung I T aus ihr
wieder hervor, und stöfst mit der verlängerten Axe AP
in K zusammen. Die Aufgabe für diesen Fall ist: den
Winkel IK M und die Focaldistanz MK ( = X) aus
den gegebenen Gröfsen <p, — p, a, m und n zu linden.
Die Auflösung ergiebt sich, wenn man aus dem Puncte
B, worin der einfallende Strahl die Kugel trifft, die
Axe B F zieht, diese und den bei I aus der Kugel
wieder hervortretenden Strahl IK verlängert, bis sie
sich in T schneiden, und den Punct I mit dem Mittel-
punct M der Kugel durch den Halbmesser M I verbindet.
Bei dieser Construction stellet O P einen Strahl
vor, der aus der positiven Entfernung B M ( = a) und
unter dem Einfallswinkel P B M ( = y) in die Kugel
M P. sin. P
dringt. Im Dreieck B M P ist sin. B — -----j jm — ’
p sin. <p
oder sin. y =
und a im Triangel M IK ist
Der Winkel
a sin. v I K a sin. y
M K = sin. I K M “ sin. IK M ‘
IK M findet sich aus folgenden Gleichungen: IK M
— v IK — IMK , IM K = BMK — B M I ,
BMK = 2 R — BMA = 2 R — (B + P) =
2 R — (jp -f- y ). Der Winkel B M I ist das Doppelte
desjenigen, den wir den Richtungswinkel genannt und
mit <? bezeichnet haben. Folglich wird IK M = 2 5
— a sin. y
4' - 2 'y +1 ^tp und X = jssit n. (2 20, + 2 y -f- <p) • Dies ist
die nehmliche Formel, die wir im vorigen § für X
bei einer positiven Entfernung p fanden, nur mit dem
Unterschiede, dafs hier tp addirt ist, da es dort subtrahirt
— a sin. y
war. Im Allgemeinen ist also X = sin. ( Q t + z y + p )
12. Ein dritter Fall, den wir zu berücksichtigen
haben, ist der, worin der Strahl IK (Fig. 1. 2) bei
seinem Austritt aus der Kugel nicht wieder in das erste
Medium übergeht, sondern, indem er die Lage I Z
annimmt, in ein anderes, dessen brechende Kraft sich
zu der des ersten Mediums verhält wie t : i . Dieser
Austritt macht aber keine weitere Veränderung, als dafs
sin. M IK
nun der Sinus des Winkels v I Z = —-----T------ , also
sin. y __
sin. I Z M = — sin. (2 8,
+ y -j- ang. —~— -f- <p)
— a sin. y
und X = ------.- --->- ---«-, --.- ------, --------s-i--n-.- -y-- -—--- -- ^ wird. r sin. (2 Z + y + ang-------- -j- q>)
T