zu beweisen, werden wir eine Formel für die Brennlinie
der geschichteten Kugel aufsuchen müssen. Es seyen
zu dem Ende die beiden gebrochenen Strahlen a k und
b i (Fig. 3 ), die aus der hintern Fläche N Q einer
geschichteten Kugel hervorkommen, einander unendlich
nahe, und M a , Mb die zu den Puncten a, b gehörigen
Halbmesser der Kugel, h ist also ein Punct in der
Brennlinie. Ferner sey der Winkel a M Q = 6 und
h k Q = r. Für die übrigen, in der folgenden Rechnung
vorkommenden Gröfsen werden wir die bisher gebrauchten
Zeichen beibehalten. Die Aufgabe ist: Eine der beiden,
nur um ein Differenzial von einander verschiedenen Linien
a h , b h zu finden, durch welche die Brennlinie bestimmt
wird. Gegebene Gröfsen sind a, p und cp. Aus
diesen Datis haben wir:
r { sin. y '}
sin. y = sin. f a h = p sin. <p, sin. <S = y j i — — r r
6 — 2 R — 2 2, — 2 y + p , t = 2% + 2 y + q> — 2 R.
Da sich nun verhält sin. a h b : sin. b a h = ab: bh, so wird
b h =
ab. sin. b a h
sin. a h b
In dieser Gleichung ist, vermöge
der Proportion i : sin. a M b ( = d ö) = a M (— a):
ab, ab = a d 6. Ferner ist sin. b a h — cos. f a h =
cos. y und a h b = — k h i = — ( h kQ — h i k )
— r — ( t — d r) = d r , also sin. a h b = sin.
a cos. y. d <S
d r , folglich b h = A r—“ ' Die beiden D,f_
ferenziale d 6 und d r ergeben sich aus den obigen
Gleichungen für 6 und r.
Efi
18. Differenziirt man die Gleichung sin. <2
( sin. y*'
m
,c sm. y
, so erhält man:
I |
2 sin. y. dy sin. y2 dm-
Es ist aber d sin. y = cos. y. d y und dm “ ' 1 —
__ 3 nab 111 ‘ d v | Das Differenzial von v läfs sich
m 2 "
nur aus der Gleichung v = a ( l — sin. y ) nehmen,
(§ .1 4 ) in Betreff welcher wir erinnert haben, dafs sie
zwar nicht in jedem einzelnen Fall den Werth von v
genau angiebt, doch zur allgemeinen Bestimmung des
gegenseitigen Verhältnisses der Werthe, die v haben
kann, brauchbar ist. Hiernach ist d v a- d sin. y
2 alog.m. cos y .d y
— a cos. y. d y , mithin d m" m 2 T
Substituiren wir jetzt die für d sin. y und dm 21
gefundenen Werthe in der Gleichung für d sin. <2,
so wird
— sin. y. cos. y. d y (i + a log, m sin, y)
d sin. <2 =
m
sin. y ‘
m 2 T
d sin. s, _ __ *in- y
Nun ist weiter d <2 = - “ und cos. <2
Also d 2,
cos. <2 m
cos. y. d y (i ~f a log, m. sin, y )
m V sin. y ‘
m
Daraus findet sich
, o , , , 2Cos.ydy(i+aIog.msiu.y)_i, . ,
d — 2 d 8,—d y ± d <jp = -----------1------» , uy —
m^Wli
sin.y
i2 T )