le font perdre , & enfin quels font les
arrangemens qui ne le font ni perdre ni
gagner.
Pour réfoudre généralement ce problème
, il eft à propos de commencer
par les plus fimples, & enfuite paffant
à des cas plus cpmpofés, il faut chercher
quelque loi uniforme, & quelqu’ànalogie
qui puiffe fervir à démêler dnns tous
les cas poflibles les arrangemens qui font
avantageux, au banquièr , ceux qui lui
font indifférens & enfin ceux qui lui
font défavorables. Cette méthode' eft la
feule qu’on puiffe utilement mettre en
ufage , lorfqu’on a , tomme dans ce problème
un fort grand nombre de comparait)
ns à faire.
Premier cas. On fuppofe qu’il refte
quatre cartes entre les mains du banquier,
& que celle du ponte v eft un certain
nombre de fois. Il s’agît de terminer
quel est le fort du banquier & celui du
ponte. Par exemple , s’il y a un écu furla
carte du ponte, on demande quelle partie
de l’écu le ponte devrait donner au banquier
pour acheter le droit de fe retirer
& de ne point courir le rifque du jeu;
ou ce qui revient au même, quel eft
dans ce cas le défavantage du ponte en
jouant but à but, contre le banquier.
Pour résoudre cette queftion , il faut
divifer tout ce que les divers arrangemens
poflibles des quatre cartes donnent de
gain ou de perte au banquier par le
nombre de ces arrangemens; l’expofantde
cette divifion exprimera fou fort.
. Pour découvrir ces arrangemens diffé-
rens, on doit obferver que deux lettres a
et b peuvent s’arranger en deux façonsah ^
ha; que trois lettres a , b y c peuvent s’arranger
de fix façons différentes : ce qui fe
voit en mettant c dans ah , & ba à toutes
les places qu’il peut avoir ; favoir à la
première, à la fécondé & à la troifîeme.
Ces fix arrangemens font :
abc bac cdb
acb bca ■ cba
On trouvera de même que quatre lettre*
at b , c , d peuvent s’arranger en vingt-
quatre façons différentes puifque d. peut
occuper quatre places différentes dans
chacun, des fix arrangemens précédens.
Or fi l ’on veut exprimer les quatre
cartes du banquier par les lettres a, b, c, d
on aura tous les arrangemens différens
des quatre cartes repréfentés dans la table
fuivante t
abcd bacd cabd daBc
aBdfc bade cctdb dacb
acbd bead cbad dbac
acdh beda ebda dbca
adbc bdac edab dcba
adcb bdea. cdb a dead
i°.' Si l’on fuppofe que la carte du
ponte déffgnée par la lettre a , fôit une
fois dans les quatre cartes du banquier ,
& que le .ponte ait mis fur fa carte une
fortune d’argent exprimée par A. Oit
remarquera en confidérant la table précédente
qu’il a douze arrangemens . qui
, donnent 2 A au banquier , fix qui le font
perdre ou lui donnent o , & fix qui lui
font indifférens..
2°. Si l’on fuppofe que la- carte du
ponte fe trou ve deux fois entre les quatre
cartes du banquier, et que les deux lettres
a & b .expriment, celles du ponte ; .ou
trouvera que des-vingt-quatre arrangemens
de la table , il y en a douze qui donnent 2
a au banquier, quatre qui lui donnent \ a ,
c’efl-à-dire , fon 'écu & la moitié dè
celui du-ponte : & huit qui le-.font-
perdre,
3°. Si l’on fuppofe que la. carte du
ponte fe trouve trois fois entre les quatre
cartes du banquier et que les trois lettres
a , b, c expriment celles du ponte, on
trouvera encore dans lè fort du banquier
= A j A ; car il y a douze arrangemens
qui lui donnent î f A.
Six lui donnent 2 A :
&dbc Idac dcba
adcb dbca dcab
j° . Enfin il eft évident que fi la carte
du ponte fe trouve quatre fois dans les
quatre cartes du banquier , le fort du
banquier feroit = A ■ +■ j A .
Il paraît par la folution de ce premier
cas que fi la mife du ponte eft un
écu , il doit donner quinze fols qui en
eft le quart au banquier, pour acheter lë
droit de fe retirer, foit que fa carte foit
une fois , ou deux fois . ou trois fois
dans les quatre cartes du banquier.
Ce ferait un travail infini de chercher
les autres cas de la maniéré qu’on a
rifolu celui-ci ,.en cherchant dans des tables
les arrangemens favorables et contraires,
car ce nombre devient immenlè dans
un plus grand nombre de cartes. Tout
cela est fondé fur l’ordre des arrangemens;
ainsi tel nombre de cartes que
tienne le banquier , fi celle du ponte
ne s’y trouve qu’une fois , l’avantage-du
banquier fera exprimé par une fraction
qui aura l’unité pour numérateur , et
pour dénominateur le nombre des cartes
que tient le banquier ; car fix cartes , par
exemple , pouvant être rangées en 720
façons différentes , il eft- clair que fi l’on
conçoit tous- c es. arrangemens différens
pofés fur fix colonnes de cent vingt
arrangemens chacune, en forte que dans
là première la lettre a foit partout â la
première place, que dans la fécondé elle
foit partout à la deuxieme place , que
dans la troisième elle soit partout à'la
troisième place , & ainsi de fuite la
première , la troifîeme & la cinquième
colonnes donneront deux A au banquier
dans tous leurs arrangemens ; la fécondé
& la quatrième lui donneront zéro,. &
la cinquième lui donnera A .
Autre propofition, dans laquelle on
^uEE°fo ffue le banquier tient fix cartes,
& que celle du ponte y eft un certain
nombre de fois : on demande quel eft
le fort du banquier dans toutesies variations
de ce fécond cas?
Soit fuppofe que la carte du ponte fè
trouve deux fois dans les fix cartes*.
Si ces fix cartes font repréfentées par
les fix lettres a , b, c ,. d , f , enforte
que deux quelconques, par exemple a.&cg,
expriment celle du ponte;
On remarquera , i ° . qu’on peut mettre
les fept cent vingt arrangemens différens
que fix cartes peuvent recevoir fur fix
colonnes , .dont chacune fera compofée
de fix vingt rangs perpendiculaires, enforte
que la première colonne commence toute
par là lettre <2 , la fécondé par la lettre é ,
la troifième pa-r la lettre c-, & ainfî de-
finte;
2°i Que les deux colonnes qui commencent
par a & par ^ ont chacune quatre-
vingt-treize rangs perpendiculaires , qui
donnent au banquier 2 A , & vingt-ouatre
qui lui-donnent | A ; car chaque rang de
ces deux-colonnes donnent 2A au banquier,
à l’exception de ceux où a eft fuivide^-
dans la première, & où g eft fuivi de a
dans la dernière. Or cinq lettres pouvant
recevoir cent vingt arrangemens différens,
& .chacune fe trouvant néceffairement un
égal nombre de fois après a dans la première
colonne, & après g dans la dernière,
il eft évident qu’il faut divifer 120
par y , pour avoir tous les doublets dans
chacune des deux colonnes qui commencent
ou par a ou par g. Cette remarque
eft importante pour la folution du problème
, & il faut s’en fouvenir dans la--
fuite.
La plus grande difficulté, e’eft de découvrir
ce que donnent au banquier les-
quatre autres colonnes. Pour le démêler,
il faut remarquer d’abord que chacune de
ces quatre colonnes donne un fort égal
au banquier, ( ce qui eft évident ) &
qu’ainfi il fuffit d’en examiner une. Sorti