que quand c ’eft une carte droite, celui
qui perd paie aux autres cartes droites le
fond du je u , fans avoir égard à ce que
la fîenne, ou la carte droite des autres
coupeurs fort fimple , douple ou triple ;
au lieu que quand c’eft une carte de re*
prife, on ne paie & on ne reçoit que félon
les règles du parti. O r , dans ce jeu, les
partis font de mettre trois contre deux,
lorfqu’on a carte double contre carte
fimple ; deux contre un, lorfqu’on a carte
triple contre cartcdouble ; & trois contre
un, lorfqu’on a carte: triple contre carte
lîmple..
Ces règles étant bien conçues, fi l’on
veut favoir en quoi confifte ta difficulté
de déterminer l ’avantage de celui qui a
la main., il. faut obferver :
i* . Que l’avantage d’avoir la main en
renferme un autre fort conlîdérable;, qui
efl de conferver à Pierre le droit de tenir
les cartes autant de fois qu’il aura amené
toutes les cartes droites des coupeurs,
avant que d’amener le fîenne. Or,,comme
cela peut arriver plulîeurs fois de fuite ,
tel nombre de coupeurs, qu’ri y ait, il-
faut' en examinant davantage de celui qui
tient les cartes , avoir égard'à l’efpérance
qu’il a de faire la main un nombre de
fois quelconque indéterminément. D’où,il
fuit qu’on ne peut exprimer l’avantage de
Pierre que par une fuite compoféed’un
nombre infini de termes qui-iront tou jours
-en diminuant; ce qui donne quelque fujet
de croire qu’on ne peut jamais, avoir la
valeur précife de l’avantage de Pierre ,
mais feulement une valeur d’autant plus
ex2âet, qujon emplpier.a. un. plus grand,
nombre ae termes ' de la fuite.
2°. Que Pierre a d’autant moinsd’ef-.
pérance de- faire l'a'main, qu’il y a plus!
de coupeiirs & plus de cartes Amples
parmi les Cartes droites.
3°. p u e l’obligation où efl Pierre, de
mettre', le double du fond du jeu fur lès.
cartes doubles,, & lè quadruple fur les:
cartes triplés diminue l’ayantàge qu’il auroit
en amenant des cartes doubles ou triples
avant que de f.e, donner la fîenne ; & que
fon avantage, efl augmenté par cette autre
condition du jeu , qui lui permet de re-
prendre en entier ce .qu’il a mis fur les
cartes doubles & triples, lorlqu’il donne
à un des coupeurs une carte quadruple.
Ces remarques, & quelques autres pareilles
, peuvent faire connoître que ce
problème efl plus compliqué qu’il neparoît
d"abord.
Pour le ré foudre, voici la route qu’il
faut tenir :
On examine d’abord toutes les difpo-
- filions différentes ■ que le jeu peut avoir,
avant que Pierre' fe foit donné fa carte ,
& 1’ on détermine combien- il y a de probabilité
que chacune des difpèfîtions poffi-
bles fe trouvera à l’exclufîon des autres.
Enfuite, on doit rechercher quelle efl
l’efpérance de Pierre dans chacune des
, difpofîtions différentes de fe donner une
carte ou fimple , ou doublé, ou triple,
ou quadruple.1 En troifième lieu, il'faut
examiner en particulier ce que chacun
des différens- rapports de la carte de Pierre
à celles des coupeurs , peut lu i. donner
de gain ou de perte. Enfin, après- ces
recherches, il.ne refie qu’à Opérer , félon
les règles ordinaires de l’analyfe, il fera
plus aifé d’établir la méthode à. fuivre,
en en faifant l’application fur des cas particuliers.
Premier cas. On fuppofe qu’il y ait trois
coupeurs, Pierre , Paul & Jacques : Paul
efl le premier à la droite, & Jacques; le
fécond ; on demande: combien il y a d’avantage
pour Pierre à avoir la main. :
Soit le fondIidu jeu appellé A.
On remarquera :
i° . .Qu’il y a à.papier feize-conçre(un ,
que les caites de Paul & de Jacques fe
trouveront fimples, lorfque Pierre fera fur
||j point de tirer fa, carte; & un , contre
feize, que la carte de Jacques feriouvera
double.
2ft. Que les cartes de Paul & de Jacques
étant fimples, Pierre a fîx coups fur cinquante
pour amener carte double , & par
conféquent quarante-quatre fur cinquante
pour amener carte fimple.
Que la carte de Jacques étant double,
Pierre a deux coups fur cinquante pour
gagner , tout en amenant carte triple, &
par conféquent quarante-huit fur cinquante
pour amener carte fimple.
4°. Que fi Pierre amèhë carte fimple,
les cartes de Paul & de Jacques étant fimples
, fon fort efl 2 A ; ce qui efl évident;
mais que fi Pierre amène carte double,
fon fort efl 3 A ÿ A. Car amenant carte
double, il prend d’abord 2 A , c’eft-à-
dire la mife de celui qui perd & la fîenne
propre; & outre cela, il a fa mife fur
la mife du joueur qui refte , & l’avantagé
d’avoir carte double contre carte fimple.;
or cet avantage efl -y A.
Pierre ayant carte double contre carte
fimple, a trois coups pour gagner, &
feulement deux pour perdre.
5°. Que fi Pierre amène une carte fimple
, la carte étant double, fon fort efl
2 A — §- A ; car c’efl une loi du jeu que
Jacques, ayant carte double , efl en droit
de mettre 2 A fur fa carte, & d’obliger
Pierre à en mettre autant, quoiqu’à Ion
défavantage. On a vu que l’avantage de
celui qui a carte double contre carte fimple
efl la cinquième partie de la mife de chacu n ;
or ici la mife de Jacques étant 2 A , fon
avantage & le défavantage de Pierre fera y A.
Il efl évident que fi Pierre amenoit carte
triple, fon fort feroit 4 A .
6°. Il faut encore obferver que Pierre
hafarde 2 A , lorfque les cartes de Paul
& de Jacques lont fimples ; mais qu’il ha
farde feulement A , lorfque la carte de
Jacques efl double. De tout céla , il fuit
que l’avantage qü’a Pierre dans un to”ur
efl vy A.
Maintenant pour favoir c e . qu’il faut
ajouter à cet avantage pour avoir égard
à l’efpérance qu’a Pierre de faire la main ,
il faut déterminer quel efl le nombre qui
exprime cette efpérance, & le multiplies
par l’avantage déjà trouvé 7= A.
Il efl clair que cette efpérance efl différente
, félon toutes lès différentes difpp -
filions que peuvent avoir les cartes de trois
coupeurs. Ainfi il faut chercher quel degré
de probabilité il y a que chacune de ced
difpofîtionspoffibles fe trouvera, & multiJ
plier chacun des nombre’s qui les exprime
par le degré de probabilité qu’il y a que
dans telle & telle difpbfition, Pierre fera
la main.
Or je trouve que fur vingt-deux mille
cent différentes difpofîtions poffibles des
trois cartes de Pierre, Paul & Jacques;
i) y en a dix-huit mille trois cents quatre
pour que les trois cartes foient fimples;
deux mille quatre cents quatre-vingt-feize’
pour que la carte de Pierre foit double ;
mille deux cents quarante-huit pour que
la carte de Jacques foit double, & cinquante
deux peur que celle de Pierre foit
triple.
Il faut encore obferver;
l°. Quelorfque les trois carte* de Pierre,
Paul & Jacques font triples , il y a à
parier un contre deux que Pierre fera la
main.
2°. Qu’il y a à parier trois contre deux,
lorfque la carte de Pierre efl double; &
deux cents trois, lorfquelacartedê Jacques
efl double.
S condcas. On fuppofequatrecoupeurs,
le quatrième fe nomme Jean.
Pour découvrir en combien de manières
différentes, les:. cartes des trois coupeurs
Paul, Jacques & - Jean, peuvent arriver
ou fimples ou doubles , ou triples, il
faut fe fouvenir que dans le cas-précédent
on. a-trouvé qu’il y a feize Contre un à
parier que la carte ,du premier coupeur
étant fimple, celle du fécond le fera suffi £