2,0 C_A R
& on peut en voir la démonflration dans
le traité qu’il a fait , intitulé Triangle-
arithmétique , où il applique ces nombres,
tant aux combinaifons, qu’à trouver les
partis que doivent faire deux joueurs qui
jouant en un certain nombre de points à
tin jeu égal , ont plus ou moins de
points.
Pour me faire plus facilement entendre ,
je prends un exemple , & je fuppofe que
l ’on veuille favoir en combien de façons
différentes fix chofes peuvent être prifes,
ou une à une, ou deux à deux , ou trois
à trois, ou quatre à quatre, ou cinq à cinq,
ou lix à fix , foient ces fix chofes quelconques
exprimées par les fix lettres ,
a , b, c , d , f , g .
Premièrement, il efi évident que fi l’on
cherche en combien de façons ces fix
lettres peuvent être prifes une à une, le
nombre fix fera celui qui fatisfait au problème.
Or , il elt évident que les termes
de la première bande horifontale qui précèdent
le nombre fix de la fécondé, étant
ajoutés en une fomme, font le nombre
fix.
Suppofons enfuite que l’on veuille favoir
en combien de façons différentes ces
mêmes lettres peuvent être prifes deux à
deux.
Pour le trouver, on obfervera , i° . que
la lettre a peut fe combiner avec les cinq
fuivantes, b , c, d, f , g.
z°. Que la lettre b peut fe combiner
différemment avec les quatre fuivantes ,
c , d , f , g , ce qui donne quatre combinaifons
différentes, b c , bd , b f , b g-
car b a feroit bien un arrangement diffé
rent de a b ; mais nonpas une combinaifon
différente.
3°. Que c ne fe combine qu’avec les
lettres d , g , f ; car c a , cb ne feroient
point de combinaifons différentes.
4°. Que d ne fe combine qu’avec les
deux lettres f & t g ; car da, de , d b ne
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feroient point de combinaifons différentes.
J°. Que ƒ ne fe combine qu’une fois
avec g ; car f a , f b , f c , f d feroi ent des
répétitions des combinaifons précédentes;
ce qu’il faut obferver avec foin, car c’efl-là
le principal fondement de la démonftra-
tion.
Toutes ces combinaifons enfemble de
fix lettres, prifes deux à deux, font :
a b , ac , a d , ag, af,
b c , bd, b g , b f ,
cd> c g-> cfy
dg> d f>
fg >
dont la fomme ƒ -f 4 -f 3 -J- 2 -f i = i r .
Par conféquent le nombre iy qui fe
trouve dans la feptieme bande perpendiculaire
& dans la troilième bande horifontale
, eft la fomme des nombres qui
le précède à gauche dans la bande fupé- '
rieuré horifontale, & efl en même temps
le nombre qui exprime en combien de
façons différentes fix lettres peuvent être
prifes deux à deux.
Suppofons mantenant que l’on veuille
trouver en combien de façons différentes
ces fix lettres peuvent être prifes trois à
trois.
On remarquera l°. que a b peut
fe combiner en quatre façons avec les
lettre c , d , f , g ; ac en trois façons ,
ad en deux façons, & a ƒ feulent ent d’une
façon.
i°. Que bc fe combine en trois façons
avec les lettres d f ',g ,■ b, d en deux façons
avec les lettres ƒ & g, & b, f feulement
d’une façon avec g.
3°. Que cd fe combine en deux façons
avec les lettres f g , & ç f feulement d’une
façon avec g.
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4°. Il eft évident que d f ne peut fe
combiner que d’une façon avec g. Toutes
a b c , abd, a b f , abg, acd,
bed ,
dont la fomme îo x 6 — XJ x i — :
Et par conféquent le nombre 20, qui
fe trouve dans la feptième bande perpendiculaire
, & dans la quatrième bande horifontale
, eft la fomme des nombres qui
le précèdent à gauche , dans la bande
iùpérieure horifontale, ik eft en même-
tems le nombre qui exprime en combien
de façons différentes fix lettres peuvent
être prifes trois à trois.
Suppofons encore que l’on veuille favoir
en combien de façons différentes ces
fix lettres peuvent être prifes quatre à quatre.
ab cd , a b c f , abcg, a b d f , abdg,
dont la fomme io 4 -f 1 — 1
Et par conféquent le nombre 1 f , qui
eft dans la feptième bande perpendiculaire
& dans la cinquième bande horifontale
, eft la fomme des nombres qui le
précèdent à gauche, dans la bande fupé-
rieure, & eft en même-temps le nombre
qui exprime en combien de façons différentes
fix lettres peuvent être prifes
quatre à quatre.
Si l’on veut encore favoir en combien
de façons différentes ces fix lettres peuvent
être prifes cinq à cinq,
On remarquera i Q. que a b c d ne peut
fe combiner différemment qu’avec les deux
lettres ƒ & g ; a b c f qu’eii une feule
façon avec g', a b d f en une feule façon
avec g , & a e d f qu’en une feule façon
avec g.
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ces combinaifons enfemble de fix chofes
prifes trois à trois, font :
ae f , aeg , a d f , a d g , a f g ,
b e f , b eg , b d f , bdg, b f g ,
f df> cdg> cfg>
dfgy
On obfervera 1°. que abc peutfe combiner
en trois façons différentes avec les
lettres d fg \ ab d en deux façons avec
ƒ & g; a b f feulement avec g ; que a cd
peut fe combiner en deux façons avec les
lettres f8cg; que a c flk a d f te combinent
feulement d’une façon.
2°. Que bed fe combine en deux façons
avec f ô c g ; & que b c f , b d f & c d f ne
fe combinent que d’une façon avec g.
Toutes ces combinaifons enfemblefont:
b fg , a ed f , aedg, a e fg , a d f g ,
b ed f , bedg, b e fg , b d f g ,
cdf g >
2®. Que b e d f ne fe combine que
d’une façon avec g.
La fomme de ces combinaifons de fix
chofes prifes cinq à cinq , fera donc
ab c d f , ab cd g , ab c f g , ab d fg ,
a e d f g , b e d f g, = 6 .
Et par conféquent le nombre f ix , qui
eft dans la feptième bande perpendiculaire
& dans la fîxième bande horifontale, eft
la fomme des nombres qui le précèdent
dans la bande fupérieure horifontale, qui
eft celle des nombres du cinquième ordre,
& eft en même-temps le nombre qui exprime
en combien de façons différentes
fix lettres peuvent être prifes cinq à cinq.
Enfin, il eft évident que fix lettres ne
peuvent être prifes que d’une façon, fix
à fix.