i j i I M P
Soit donc le nombre de cas cherché ,
celui où l’on peut amener feize points
avec quatre dez.
+ ü Ka x u = + w
+ ï x ï )<f x T î = + ^
Or 439 — 336 -+- 6 = 123. Donc 123
efl le nombre cherché.
Trouver en. combien de coups A peut
gager d'amener quinze points avec f ix deç.
A ayant 1666 cas pour lu i, & 44.590
contre; divifez 44990 par 1666, & le
quotient 27 fera = q. Multipliez donc
27 par 7 ; le produit 18. 9 montrera que
le nombre de coups eil environ 19.
Trouver le nombre de coups dans lequel il
y a à parier qiîune choje arrivera deux fois ;
de forte que A & B rifquent autant P un
que tautre.
Soit le nombre des cas où la chofe
peut arriver du premier coup = a; & le
nombre de ceux où elle peut ne pas ar^
river = b. Soit x le nombre de coups
cherché. Il paroît par ce qui a été dit
que a A" |ɧ 2 k X -+- tta x b x = I,
Et faifant a. b :: 1 , q ; 1 -+- i = 2
y9. Soit q = i , & partant x = 3 ;
2° foit 4 infinie, & par conféquent x auflî
infinie ; foit x infinie, & f = 3. Donc
ï -+- z ■ +* î î ? + ' 3 ! & c, = 2 -t- 2 3;,
& 3==lo g. 2 -1 -lo g . 1 -+- 3;. Soit log.
2 = y . L ’équation fe transformera dans
l’équation différentielle fuivante :
-fu r = y , & cherchant la valeur de 5
par les puifîances dey, on aura 4 = 1.678 ,
ou à-peu-près. Ainfi la valeur de x fera
toujours entre les limites de 3 q A de
1.678 q. Mais x convergera bientôt à
1.678 q ; c ’eft pourquoi , fi le rapport
de q à 1 n’ .-fi pas très-petit, nous ferons
x = 1.678 q. Ou fi on foupçonneard’être
trop petite , on fubflituera fa valeur dans
l’équation i - t - y == 2 + ‘f , & l’ou
notera l ’erreur , fi .elle, en vaut la peine ;
x prendra ainfi un peu d’accroiffement.
Subftituez la valeur accrue de x dans
l’équation fufjite ,, & notez la nouvelle
erreur. Par le moyen de ces deux erreurs,
on peut corriger celle de x avec allez
d’exaditude.
Y oici une tabledes limites qui conduiront
allez vite au but qu’on fe propole dans ce
problème. Si l’on parie feulement que la
chofe arrivera une fois , le nombre fera
entre ï q & p. 693 q
fi 2 fois; entre 3 q & 1.678 q
fi 3 fois; entre y q & 2.679 ?
fi 4 fois; entre 7 q & 3.671 q
fi 9 fois; entre 9 q Sx 4.673: q
fi 6 fois; entre 11 q St 3.668 q
Trouver en combien de coups on peut fe
propofer £ amener trois as deux fois avec
trois de^.
Puifqu’il n’y a quun cas où l’on puiffe
amener trois a s, & 219 où l ’on ne les
amène pas, q = 21,5; multipliez donc
219 par t . 678 : le produit 360. 7 montrera
que le nombre de coups efl entre
360 & 361.
A & B mettent fur table chacun doutée
pièces d'argent ; ils jouent avec trois pjrjg,
à cette condition qu'à chaque fois qu'il
viendra onqe points, A donnera une pièce
1 11 j & qu'à chaque fois qu’i l viendra
quatorze
quatorze points, B donnera une-pièce à A ;
en forte que celui qui aura le premier toutes
les pièces en fa pojfejjion, les regardera comme
gagnées par lui. On demande le. rapport de
la chance de K. à la chance de B.
Soit le nombre de pièces que chaque
joueur dépofe = p . a & b le nombre des
cas où A & B peuvent chacun gagner
une pièce. Le rapport de leurs chances
fera donc comme a p à bp. Ici / > = i2 ,
a = 2 7 , b = 13. Or fi 27 étant à 19 ,
comme 933 , vous faites a = 9 & é = 3;
le rapport des chances ou des efpérances
fera comme 911à 3Ii, ou comme 144140613
à 282429336481.
Une attention qu’il faut avoir , c’ell
de n’être pas trompé par la relfemblance
des conditions, & de ne pas confondre
les problèmes entre eux. Il feroit aifé de
croire que le fuivant ne diffère en rien
de celui qui précède.
C a vingt-quatre pièces, & trois dep ;
à chaque fois qu'il amène 27 points , il
donne une pièce à A , & à chaque fois qu'il
amène 1 4 , il en donne une à B ; 61 A 61 B
conviennent que celui des deux qui aura le
premier âoitpe pièces, gagnera la mife. On
demande le fdpport des chances de A. &
de B.
Ce fécond problème a ceci de p ropre,
quil faut que le jeu liniffe en 23 coups ;
au lieu que le jeu peut durer éternellement
dans le premier , les pertes & les gains
fe détruifant alternativement; élevez a-\-b
a la 23e puiffance, & les douze premiers
termes feront aux douze derniers, comme
L chance de A à celle de B.
Trois joueurs A , B & C ont chacun
doupe balles : quatre blanches & huit noires,
& les yeux bandés ; ils jouent à condition
que le premier qui tirera une balle blanche
gagnera la mife ; mais A doit tirer le premier
, B le fécond, G le troifième, & ainjl
de fuite , dans cet ordre. On demande le
rapport de leurs chances.
Soit nie nombre des balles; a le nombre
des blanches ; b le le nombre des noires,
& l’enjeu = 1.
i°. A a pour amener une balle blanche
les cas a. , & les cas b pour en amener
une noire ; donc fa chance en commençant
efl Souftrayantde 1, la
valeur, des chances reliantes fera 1 — £
__ • b_
2°. B a pour amener une bille blanche
les cas a , & les cas b — ■ 1 pour en
amener une noire; mais c’efl à A à commencer
à jouer, & il eft incertain s’il
gagnera ou ne gagnera pas l'enjeu ; ainfi
l’enjeu relativement à B n’eft pas 1 , mais
feulement Ainfi donc fa chance, en
qualité de fécond joueur, eft ——y— x
i = Souftrayez de £, &
la valeur du relie des chances fera
__ 1 •+ b
— n x 1..*, -
3°. Capour amener uneballe blanche
les cas a , & les cas b — 2 pour en amener
une noire; ainfi fa chance, en qualité de
troifième joueur , eft ' — -~x~ —=•
« X » - I X - i > - 2
40. En raifonnant de la même manière,
A a pour amener une biffq blanche les
cas a, & pour en amener, une noire les
cas b — 3 ; ainfi, comme jouant un qua