IJ4 I M P
trième coup , après les trois premiers
coups joués, fa chance fera
& ainfi de fuite pour les autres joueurs.
Ecrivez donc la férié £ -t- P -4-
Q ^£5 R -1- S , où les quantités
P , Q , R , .J dénotent les termes ou
quantités précédentes, avec leurs caractères.
Prenez autant de termes'de la férié
qu’il y a d’unités dans b -4- 1 ; car il ne
peut ’pas y avoir plus de tours au jeu
qu’il y a d’unités dans b -4- I ; & la fomme
de tous les troifièmes termes fautant, les
deux termes intermédiaires, en commençant
par ~ , fera toute la chance de A ;
pareillement la fomme de tous les troifièmes
termes } en commençant par P ,
fera toute la chance de B ; & tous les
troifièmes termes, en commençant par
|=î Q , fera la chance de C.
En failànt a = 4 , b = 8 , n = 12 ;
la férié générale fe transformera dans la
fuivante - h f P -1- fis Q + | f i +
jû j§ I ■ +■ \ T , -v- +
Ou dans cette autre , en multipliant
tous les termes par quelque nombre propre
à ôter les fraflions , comme ici par
4P5* y 167 "4“ 120 -4- 84 ”4“ -4—
37 20 ■ +• 10 -4- 4 -4- 1. Donc
lachancede Afera 165 -4 -76 -1 -10= 2 3 1 ,
la chance de B fera 120-+-3 5-4- 4 = 1 4 :9 ,
la chance de C fera 84-+- 20-f- 1 = 1 0 7 ;
ainfi les chances de ces joueurs A , B , C
feront dans le rapport des nombres 2 31 ,
ijS)', 10 ; ou 7 7 , 7 3 , 37.
A & B ont doutée jettons, quatre blancs
& huit noirs ; A parie contre B , ; qu’en
en prenant fept les je u x fermés, ü y en aura
trois blancs. Quel efi le rapport de leurs
chances ?
i°. Cherchez combien de fois on peut
prendre diverfement 7 jettons dans 12 •
& par le calcul des combinaifons, vous
trouverez 792.
i î X-V X ^ x f x f X x f = 7 9 2 .
2.0. Séparez trois jettons blancs , &
cherchez toutes les manières, dont quatre
des huit noirs peuvent fe combiner avec
eux , vous en trouverez 70.
! x f x f x ‘ = 7o.
Et puifqu’il y a là quatre cas où trois
jettons peuvent être tirés de quatre; multipliez
70 par 4 , & vous trouverez 280
pour les cas où trois blancs peuvent
venir avec quatre noirs.
30. Par la loi générale des jeux, celui-
: là eft le gagnant, qui amène le plutôt
: l’evenement convenu, à moins que la condition
contraire n’ait été formellement
exprimée. Ainfi donc, fi A tire quatre
jettons blancs avec trois noirs,il a gagné.
Séparez quatre jettons blancs, & cherchez
toutes les manières dont trois noirs de
huit peuvent fe combiner avec quatre
blancs, & vous trouverez 76.
| x | x f = y ô ,
Ainfi il y a 280 -4- y£ cas = 335 qui
font gagner A ; ce qui ôté du nombre de
tous les cas 79 2 , il en relie 476 qui le
font perdre. Ainfi le rapport de la chance
de A à la chance de B eft comme 336
à 476, ou 14 à 19.
Dans les problèmes fuivans, pour éviter
la prolixité , nous ne donnerons point
l’analyfe, mais feulement fon réfultat. Cela
fuffira pour faire préfumer les avantages
gc les défavantages dans les jeux, gageures, j Parexemple, font trois joueurs A ,B ,C ;
hafards de la même nature. Un bon efprit alors n = 2 , 6c 1 = .2“ : 2“ :: 7 . 4 : :
4e lui-même ces fortes d’eftimations a . c . c’eft-à-dire que leurs chances ou
approchées , dont on peut fe contenter
dans prefque toutes les circonftances de
la vie où elles font de quelqu’importance.
A & B jouent avec deux det^, à condition
que f i A amène f i x , il aura gagné ,
(r B s’il amène fipt. A jouera le premier ;
mais pour compenfer ce défavantage, B jouer a
deux coups de fuite ; & celajufqu à ce que
îun ou Vautre ait amené le nombre qui
finit la partie.
Si l’on cherche le rapport delà chance
de A à la chance de B , on le trouvera
de 10377 à 12276.
Si un nombre de joueurs A ,B,C,D,E , &c.,
tous tPégale for.e , dépofent chacun une
pièce, & jouent, à condition que deux
d’entre eux A & B commençant à jouer,
celui des deux qui perdra, cédera la place
au joueur C ; celui des deux qui perdra
cédera la place au joueur D , jujquà ce
qu’un de ces joueurs -, vainqueur de tous
les autres , tire les enjeux ou la mife. On
demande■ le rapport des chances de, tous ces
joueurs.
Selon la folution de M. Bernouiiti, le
nombre des joueurs étant n -t- 1 , les
chances des deux joueurs qui fe fuivent
l’un & l’autre, font comme r -H 2“ à 2“ ,
& partant les chances de tous les joueurs
A, B, C, D-, E , & c . , félon la proportion
géométrique 1 -4- 2” : 2” :: A . c :: c .d t:
d .e , & c. Cela pofé , if n’eft pas difficile
de déterminer les! chances de deux joueurs
quelconques, ou avant que deicommencer
ou quand le jeu eft engage.
efpérances de gagner, avant que A ait
gagné B, ou B, C, font comme 7, 7 , 4 ,
ou font fil) ~h> Tf i car toutes enfemble
doivent faire t . Lorfque A aura gagné B ,
les chances feront comme s i | , 4 = ï .
S’il y a quatre joueurs A , B , C , D ,
leurs chances ou attentes feront en commençant
comme 81 , 8 1 , 7 2 , 64; &
lorfque A a gagné B , les chances ou
attentesdeB, D , C , A , comme 2 y , 32,
36 , 76; & lorfque A a gagné B & C , les
chances ou attentes dé C , D , B , A ,
comme 16 , 18 , 28, 87.
A , B , C , trois joueurs cCégale force,
mettent une pièce , & jouent, à condition
que deux commenceront, & que celui qui
perdra fort ira ; mais en fortant ajoutera une
fomme convenue à la mife totale', & ainfi
de fuite de tous ceux qui jortïront, jufqu à
ce qu’il y en, ait un qui batte les deux
autres, & qui tire tout. On demande f i la
chance de h. & de B efi meilleure ou plus
mauvaife que celle de C.
Si la fomme que chaque joueur qui
fort ajoute à la malfe, eft à la première
mile de chacun, comme de 7 à 6 , les
chances des trois joueurs font égales. Si
le rapport de la fomme ajoutée par le
fortant à la.maffe, eft à la première mife
en moindre rapport que.de 7 à 6 , le
fort de A & B vaut mieux que celui de. C ;
fi ce rapport eft plus grand, le fort de C
eft,le meilleur; & lorfque A a gagné B
une fois, les chances des joueurs font
comme lesnoaibref * f i . o u . 4 * 2, 1 ,
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