De tout cela, il faut conclure que la
feptième colonne perpendiculaire exprime
toutes les manières poffibles dont fix chofes
peuvent être prifes, ou une à une , ou
deux à deux, ou trois à trois, ou quatre
à quatre, ou cinq à cinq , ou fix à fix.
On trouvera de même que la huitième
colonne perpendiculaire exprime toutes
les manières poffibles dont fept chofes
peuvent être prifes, ou une à une, ou
deux à deux, ou trois à trois, ou quatre
à quatre , ou cinq à cinq , &c. ; & enfin
que cette table étant continuée à l’infini,
donnerait toutes les manières poffibles j
dont un nombre quelconque de jettons
ou de cartes pourroit être pris , ou un à
un , ou deux à deux, ou trois à trois,
&c. , dans un nombre plus grand de
jettons ou de cartes ; ce qu’il falloit démontrer.
On tire de la démonflration précédente
une manière aifée & courte de former la
table, c’ell à favoir d’ajontpr en une
femme le chiffre cpi précède le nombre
cherché à gauche dans la même bande
horifontaîe, & le chiffre qui eft fupérieur
à celui qui efl à gauche; ainfi, pour former
la. troifième bande horifontaîe, j’ajoute
le nombre qui efl à la gauche (c’efl zéroj
& le nombre au-deffus; cela me donne
un pour le premier terme de cette bande.
Pour avoir le fécond, j ’ajoute le nombre i
qui efl à la gauche du nombre cherché
avec le nombre 2 qui lui eft fupérieur ;
la fomme 2 x 1 = 3 fera le fécond de la
troifième bande horifontaîe ; le troifième
terme de cette bande fera 3 x 3 = 6; le
quatrième fera 6 x 4 = 1 0 , & ainfi de
fuite. Si l’on veut, par exemple, trouver
le nombre qui répond à la neuvième bande
perpendiculaire & la fixième bande hori-
fontale, j’ajoute 33" à 21 ; la fomme qui
eft 5 6 efl le nombre cherché.
5 .Autre démonflration. Soit fuppofé que
1 on veuille prendre cinq chofes, par exemp
le , de toutes les manières poffibles , ou
deux à deux, ou trois à trois, ou quatre
a quatre, ou cinq à cinq ,
Il eft clair l ° . que cinq chofes, abcde,
peuvent être prifes deux à deux en autant
de façons que quatre chofes ont été prifes
en cette manière , ( or les lettres a b c d
ont pu être mifes deux à deux en fix façons,
favoir, a b , ac , ad, bc, bd, cd,)
& qu’elles peuvent être prifes outre cela
en autant de façons que quatre chofes
peuvent être prifes une à une, favoir,
ae, be, ce, de; ce qui donne dix com-
binaifons de cinq chofes prifes 'deux à
deux.
2°. Cinq chofes peuvent être prifes
trois à trois en autant de façons que quatre
chofes ont été prifes trois à trois & deux
a deux. Or quatre chofes peuvent être
prifes trois à trois en quatre façons,abc,
a c b , abd, bcd; & deux à deux en fix
façons, a b , ac, ad, bc, bd, cd. Donc
fi on ajoute la lettre e à ces fix dernières
façons différentes , on trouvera que le
nombre 10 exprime en combien de façons
différentes cinq chofes peuvent être
prifes trois à trois, & efl en même-temps
la fomme du nombre qui le précède à
gauche, & de celui qui eft au-deffus de
ce nombre. Cette démonflration rfétend
à tous les nombres de la table , & eft fondée
fur ce qu’un nombre quelconque p
peut être pris dans un autre nombre quelconque,
mais plus grand, q en autant de
façons que p & p — 1 peuvent être pris
dans q — 1. Or cette propofition eft évidente
à l’égard du nombre qui eft à gauche
, puifque le petit eft contenu dans le
plusgrand;elle eft vraie auffi à l’égard de celui
qui eft fupérieur au nombre de la gauche,
puifqu’en y joignant la lettre qui n’eft
point entrée dans les coinbinaifons qu’exprime
le nombre de la gauche, il en
fournit de nouvelles, & fupplée à celles
qui manquent au nombre de la gauche.
Ajoutons i ° . que fi l’on cherche en>
combien de façons le nombre q peut être*
pris dans un autre nombre plus grand qui
foit apppellé p , le nombre cherché fera
exprimé par une fradion dont le numérateur
fera, égal à autant de produits de p,
p — 1 , p — 2, p — 3 , p— 4 , &c. que
q exprime d’unités, & dont le dénominateur
fera compofé d’un égal nombre
de produits des nombres naturels 1 , 2 ,
3, 4, y , 6, &c.
•2°. Si l ’on veut prendre ou p ou y dans
un nombre exprimé par m, je dis que ii
p y . q = im, le nombre qui exprimera en
combien de façons-on peut prendre p
dans m, fera le même que celui qui exprime
en combien de façons on peut y
prendre q. Ainfi , par exemple , m étant
= 7 , le nombre qui exprimera en combien
de façons on peut prendre trois
chofes dans fept, fera le même que celui
qui exprime en combien de façons on y
en peut prendre quatre ; & de même le
nombre qui exprimera en combien de
façons on peut prendre deux chofes dans
fept, fera le même que celui qui exprime
en combien de façons on y en peut prendre
quatre ; & de même le nombre qui exprimera
en combien de façons on peut
prendre deux chofes dans fep t, fera le
même que celui qui exprimera en combien
de façons on y en peut prendre cinq;
& le nombre qui exprimera en combien
de façons on peut prendre une chofe dans
fept, exprimera en combien de façons on
y en peut prendre fix.
Il fuit de-là 1°. que fi m exprime un
nombre impair, les deux nombres de la
colonne perpendiculaire , qui font les
plus éloignés des extrémités , font égaux
& les plus grands entre tous ceux de la
colonne ; & que fi m exprime un nombre
pair, celui du milieu fera le plus grand
d’entre tous les pombres de cette colonne.
2®. Que les nombres qui font à égale
diftance , ou de celui du milieu , fi m eft
un nombre pair , ou des deux moyens
s’il eft impair, feront égaux l ’un à l’autre,
3°. On peut obferver que la fompve de
tous les termes d’une bande perpendiculaire
quelconque, eft égale au terme cor-
refpondant d’une progreffion géométrique
double , dont le premier terme foit
l’unité,
Ainfi , par exemple , on trouvera que
le huitième terme d’une progreffion géométrique
double, qui eft 128, fera égal
à la fomme de tous les nombres que contient
la huitième bande perpendiculaire.
V o y e la table de Pafcal ci-dejjus.
Proposition. Pierre tenant entre fes
maint un nombre quelconque de jettons de
toutes couleurs , blancs, noirs, rouges , Oc. ,
parie contre Paul que , tirant au hafard un
nombre quelconque déterminé de jettons, il en
tirera tant de blancs, tant de noirs , tant de
rouges, Oc. On demande quel efl le fort
de Pierre O celui de Paul dans tous les cas
poffibles.
R . Il faut mutiplîer le nombre qui exprime
en combien de façons les jettons
blancs que Pierre doit prendre au hafard
peuvent être pris différemment dans le
nombre de jettbns blancs propofés ; par
le nombre qui exprime en combien de
façons les jettons noirs que Pierre doit
prendre au hafard , peuvent être pris différemment
dans le nombre entier de jet-
tons noirs propofés ; multiplier enfuite
ce produit par le nombre qui exprime
en combien de façons différentes les jet-
tons rouges que Pierre fe propofe de tirer
peuvent être pris dans les jettons rouges
propofés ; multiplier de nouveau ce produit
, & c . , & divifer tous ces produits
par le nombre qui exprime en combien
de façons différentes tous les jettons en-
femble de différentes couleurs que l ’or»
doit prendre , peuvent être pris dans tous
les jettons propofés.
L ’expofant de cette divifion exprimera
le fort de Pierre, ou ce que Pierre devrait
parier contre Paul ,pour que le parti
fût égal.
Pour rendre la dcmonftrauon plus facile