1 autre événemens auront lieu, le rapport
des hafards fer? comme pr à qr -4- p s
*■ +- qs.
S’d gage que le premier événement
aura lieu, & que le fécond n’aura pas
]ieu , le rapport des chances ou hafards
fera comme p s à pr -t- q r ■ +■ qs. Et
s’il y a trois, ou un plus grand nombre
d’événemetfs j : la raifon des chances ou
hafards fe trouvera toujours par la multiplication.
Si tous les événemens ont un nombre
donné de cas où ils peuvent arriver, &
un nombre donné de cas où ils peuvent
ne pas arriver ; ' & que a foit le nombre
des cas où ils peuvent arriver; b Je nombre
des cas où ils peuvent ne pas arriver, & n
le nombre de tous les cas: élevez a - y- b
à la puiffance n,
Maintenant, fi A & B conviennent que
fi un de ces événemens indépendant, ou
un plus grand nombre de ces événemens
a lieu, A gagnera; & que fi aucun de
çes événemens n’a lieu , le gagnant fera B :
la raifon ou le rapport des hafards qu’ils
courent , ou celui de leurs chances relatives
I fera comme a -{- b» — b" à b" :
car b" efl le feul terme où a ne fe trouve
point.
Si A 6 B jouent avec un feul d, g , à
la condition que f i A amené deux f ois ou
plus de deux fois A s , en huit cours, il
gagnera ; & qu’en toute autre fuppofition
ou cas, il perdra. On demande le rapport
de leurs chances ou hafards.
Puifqu il n’y a qu’ un cas à chaque coup
pour amener un A s , & cinq cas pour
Pi le pas amener, foit a = ; & b — q-
I M P
d’ailleurs, puifqu’il y a huit coups à jouer,
foit n = 8. On aura donc a-{-b" —
b” — na bn — 1 , pour la chance d’un
des joueurs, & bn -p- n a b" 1 pour
la chance de l’autre ; ou l’efpérance de A
a l’efpérance de B , comme 66%ÿÿ 1 à
1017627; ou , à -p e u -p r è s , comme 2
à 3 i
A & B font engagés au feu de palets ■
il ne manque à A que quatre coups pour
avoir gagné ; il en manque f ix à B; mais
, à chaque coup tadreffe de B efl à l’adreffe
de A , comme g efl à 2. On demande le
rapport de leurs chances , hafards ou efpé-
rances.
Puifqu’il ne manque à A que quatre
coups , & qu’il n’en manque à B que fix ,
le jeu fera fini dans neuf coups au plus,
Ainfi .élevez a -4- b à la neuvième puissance,
& vous aurez a?-g-9 as b 36
a7 J>b -4- 84, a6 b$ -t- 126 a1 é4' -4— 126
u4 A5 -+- 84. a1 b6 36 a7 b1 -t-p a b%
& prenez pour A tous les termes où a
a quatre, ou un plus grand nombre de
dimenfions ; & pour B tous ceux .où b
en a fix pu davantage ; tout le. rapport de
leurs hafards, comme a»-(-a® b -4- 36
a7 bb -t- 84 a6 -t- 126 -4-. 126 a4i>
efl à 84 a? -4- 36 a* b7-b-c> a b% 4 - b7;
& foit a —- 3 8ç b = 2 ; 6c vous aurez
en nombre les .efpérances des joueurs ,
comme i jp p o f j à 1514048.
A & B jouent au palet; mais A efl le plus
fort, enforte qu’il peut faire à B t avantage
de deux coups fur trois. On demande le
rapport de leurs chances dans un feul coup.
Suppofons que ce rapport foit comme
3; à il ; élevez g -4- 1 à la troifième puiffance,
& vous aurez gj -t- 3 p -4~3 g H- 1.
Maintenant A pouvant faire à B l’avantage
de deux coup fur trois, Afepropofe de
gagner trois coups de fuite, & confé-
quemmentà cette condition fa chance fera
comme p à 3 gg -4- 3 g 4- I , & g* = 3 44
■ mm Ou 2g3= g > -+- 3 gg-+- 3 g -h 1.
Et g V T = 4 -4- 1 ,8c g = P77-—:
J/*— .
donc les chances font comme $|$— à 1.
' V 4 r
Trouver en combien de coups il efl probable
qu un événement quelconque aura lieu ; en-
forte que A & B puiffênt gager pour ou
tontré à jeu égal.
Soit le nombre des cas où la chofe peut
arriver du premier coup = a'; foit le'
nombre des cas où la chofe peut ne pas
arriver du premier coup = b ; & x le
nombre des coups à jbiier, tel qùe l’apparence
que la chofe arrivera foit égale à
l’apparence qu’elle n’arrivera pas. Bar ce
qu’on a dit plus haut, a -4— b” — b* = bx
ou a -4- bx = 2 bx.
Ainfi * E t reprenant
l’équation a -b-b = 2 b* , & faifant a . b
: :. i , q , on aura 1 -t- ÿ. = 2. Elevez
t -4- \ à la puilfance-x, par le théorème
de NeXPton, & vous aurez 1 -t- jj -t- *.
* ?Ï5 7 x 3 m ^tc‘ =sz 2‘ Q r 4
dans cette équation , fi q = t & x = 1 ,
q étant infime , x le fera auffi. Faifant
donc x infinie ; on aura 1 - t - f “1~
i f , &c. = 2. Soit j — g, & l’on aura
1 -4— g -+- i gr -+- r 4X, &c. = 2. Mais
1 -4- g ■ +■ £ gg -t- | g1 Sec.. ,. elt un
nombre dont le logarithme hyperbolique
efl g. Donc g — log. 2. Mais le logarithme
hyperbolique de 2 efl à-peu-près 7 r
donc 4 = 7 à-peu-près. Mais où q efl 1 ,
x efl 1 ; & où q efl infinie x= 2 à-peu-
près 7. Voilà-donc les- limites du rapport
de x à q fixées. C’est d’abord un rapport
d’égalité, qui , dans la fuppofition de
l’infini, devient celui de 7 à 10 , ou à-
peu-près.
Trouver en combien de coups A peut gagner
d’amener deux As avec deux deg,
Puifque A n’a qu’un cas où il puifle
amener deux as avec deux dez; & 37.
où il peut 11e les pas amener, q = 37 3
multipliez donc 37 par 7 ; le produit 24.7
montre que le nombre de coups, cherché
efl entre 24 & 27.
Trouver le nombre des cas dans hfquels
un nombre quelconque donné de points peut-
être amené avec un nombre donné de deg.
Soit p-g- 1 le nombre donné de points;
n le nombre de dez; & ƒ le nombre desfaces
de chaque dez : foit p — ƒ = q ,
q — ƒ = r , r— f = s , s — j = s t , &c.
le nombre cherché de coups fera
-4- J x Ljü x -, Sic.
— x -f- x &c. x f
-+-J.X ’iT X f-j* & c .x f
— f X X ^ & c . X •* X *7* X • ’ *.
Série qu’il faut continuer jufqu’à ce que
quelques-uns des facteurs foit égal à o ,
ou négatif; & remarquez qu’il faut prendre
autant de fadeurs des différens produits
7 X J t 1 X &c. £ x ! r X ï j ? & c .
f x — x pp & c. qu’il y ? d’unités dans
n— 1,