fort de Jean fera —j. A = { A — rjT A , I & que Jean, pour parier également contre
ce qui fait voir que la condition de Pierre Thomas , doit mettre au jeu i 2 j contre
eft moins avantageufe que celle de Paul, I 14.1.
c
C A R R E A U .
C A R R E A U . ( jeu du franc )
C e jeu confifleà jetter en l’air une pièce
de monnoie ou une médaille , & la faire
tomber fur des carreaux égaux & réguliers
d’un appartement. Celui-là gagne
lorfqüe la pièce eft tombée franchement
fur un carreau, & qu’elle s’y fixe.
Le célèbre Buffon a examiné dans un
mémoire lu à l’Académie des fciences en
1733 , combien on peut parier que le
palet d’un des joueurs tombera fur un feul
carreau fans toucher à fes bords. Cet académicien
, pour réfoudre ce problème,
fuppofe que le carreau foit carré , &
dans ce carré il en infcrit un autre dif-
tant par-tout du demi- diamètre de la pièce.
Il conclut que toutes les fois que le centre
du palet, qui eft rond , tombera fur le
petit carré, eu fur la circonférence, ce
palet tombera franchement, & qu’au contraire
la pièce ne tombera pas franchement
fi fon centre tombe hors du carré
infcrit. Il fuit de l’examen de ce problème
ainfi pofé, que la probabilité que la pièce
tombera franchement eft à la probabilité
contraire , comme l’aire du petit carré
eft à la différence de l’aire des deux
carrés.
Si le palet au lieu d’être rond était
carré , & par exemple égal au carré
infcrit dans la pièce circulaire dont on
vient de parler, il eft alors évident que
la probabilité de tomber franchement fur
l’un dès carjreaux deviendroit plus grande,
d’autant que le palet pourroit tomber franchement
hors du petit carré ; mais le
problème propofé devient en ce cas plus
difficile à réfoudre à caufe des diverfes
pofitions que ce palet peut prendre ; ce
qui n’a pas lieu quand la pièce eft circulaire
, toutes les pofitions étant alors indifférentes.
F'oye^ l'article Franc-Carreau,
Dictionnaire des Mathématiques.
C A R T E S . ( jeu de )
Les cartes fervent par leurs combinai-
fons à différens jeu x , entre lefqu'els il y
en a qui font purement de hafard , et
d’autres qui font mixtes, c’eft-à-dire de
hafard et de combinaifon. Quelques jeux
confervent une égalité parfaite entre les
joueurs par une jufte compenfation des
avantages & des défavantages. Il y a auffi
des jeux qui offrent évidemment de l’avantage
pour certains joueurs, & du défavan-
tage pour d’autres. Au relie , il n’y a
prefqu’aucun de ces jeux qui ne montre
de l’efprit, foit dans fon invention , foit
dans la manière de le jouer. On peut
confulter dans ce didionnaire l’analyfe de
divers jeux de cartes. Voyez Bajfette ,
Brelan, Ombre, Pharaon, Piquet, &c.
Voici quelques problèmes qui ont été
propofés fur les cartes.
I " . Problème. Pierre tient dans fes
mains huit cartes qu’il ajnêlées, t'avoir ; un
as, un deux, un trois , un quatre , un
cinq,
cinq, un fîx , un fept, un huit. Paul parie
qu’il devinera ces cartes en les tirant une
après l’autre ; on demande combien Pierre
doit parier contre un que Paul ne réuffira
pas dans fon entreprife.
Par l’énoncé de la propofition, Paul
s’engage de tirer toutes les cartes , l’une
après l’autre, fans les remettre dans le jeu ,
& fans manquer une feule fois a deviner la
carte qu’il tirera.
Dans cette fuppofition, en fuivant les
règles ordinaires des probabilités , l ’efpé-
rance de Paul , au premier coup-, eft j ;
au fécond, j ; d’où il fuit que fon efpé-
xance pour les deux premiers coups eft
4 x | ; en effet, il eft aifé de voir que le
premier coup ayant huit caspoffibles , &
le fécond fept , la combinaifon des deux
aura 8 x 7 couosj, dont il n’y en a qü’un
feul qui faffe gagner Pierre, c ’eft-à-dire le
coup où il devinera jufte deux fois de
fuite. Par la même raifon , l’efpérance de
Paul, pour trois coups , fera | x i x \ ;
pour quatre, j x ^ x j x ÿ ; & pour fept
{ car il n’y en peut avoir huit, attendu
qu’après fept tirages il ne relie plus de
cartes à tirer, & il n ’y a plus de jeu) , elle
fera | x j ... x f ; donc l’enjeu de Pierre
fera à celui de Paul comme 8 x 7 X.... 2>— 1
eft à 1 , c’eft-à-dire comme f6 x 720— 1
eft à 1 , ou comme 40319 eft à 1.
Voycy tarticle Cartes , Dictionnaire des
Math ématiques.
II. Problème. I°. Pierre parie contre
Paul que tirant, les yeux fermés, quatre
cartes : entre quarante, /avoirdix carreaux ,
dix coeurs , dix piques & dix trefles , il en
tirera une de chaque efpèce. On demande
qud efi le fort de ces deux joueurs , ou ce
qu’ils doivent mettre au jeu pour parier
également.
Solution. Quarante cartes peuvent être
prifes quatre à quatre ,. en quatre-vingt-
onze mille trois cents quatre-vingt-dix
façons différentes. Or dans ce nombre,
qui exprime toutes les manières poffibles
dont quarante cartes peuvent
Jeux mathématiques.
être prifes différemment quatre à quatre,
il y en a dix mille favorables à Pierre.
Pour le voir , il faut remarquer que , s’il
n’y avoit que dix carreaux & dix coeurs,
il y auroit cent manières poffibles de
prendre dans ces vingt cartes deux cartes
de ces deux efpèces ; car chacun des dix
carreaux pourroit être pris avec l’as de
coeur, ce qui fait dix, ou bien avec le 2 ,
ce qui fait encore d ix , & ainfi de fuite.
Chacun des dix carreaux pourroit donc
être pris avec chacun des dix coeurs , ce
qui fait cent. Préfentement, fi à ces dix
carreaux & à ces dix coeurs on ajoute
dix trèfles , il eft clair que pour avoir
toutes les manières poffibles de prendre
trois cartes de différentes efpèces entre
ces trente, il faut multiplier par dix les
cent manières dont deux cartes de différente
efpèce peuvent être prifes entre
vingt, dont dix foient des carreaux & dix
foient des coeurs.
Pour le comprendre plus facilement ,
on peut imaginer une carte qui ait cent
points à la place des cent manières différentes
, dont deux cartes de différente
efpèce peuvent être prifes dans vingt
cartes , dont dix foient des carreaux &
dix foient des coeurs : alors on remarquera
fans peine que chacun de ces cent points
fe pourra trouver avec l’as de trèfle, ce
qui fait cent; enfuite chacun de ces cent-
points avec le deux de trèfle , ce qui fera
deux cents, & enfin les cent points fuc-
ceffivement avecles dix trèfles, ce qui fera
mille. Cela' étant conçu ; on obfervera
aifément que la quatrième puiffance de
dix qui eft dix mille, exprime en combien
de manières on peut prendre quatre
cartes de différente efpece entre quarante
qui foient dix carreaux, dix coeurs, dix
trèfles & dix piques.
On aura donc le fort de Pierre — j j ff-’ A ,
& par conféquent celui de Paul==î-j4H A.
20. Si l ’on demandoit combien il y a
à parier que Paul, tirant treize cartes au
hafard dans cinquante-deux, ne tirera pas
c