une portion om, nr, égale au quart de la ligne entière
, puis on tracera un rhombe o tr s , dont la
grande diagonale sera la partie intermédiaire o r ,
et la petite diagonale t s sera la moitié de la grande ;
ensuite on fera passer par les quatre côtés ot,
r i, so -, rs, des plans coupans dont les deux premiers
soient tangens à l’angle aigu o' du rhombe
o'/'r'i', et les deux autres à l’angle analogue situé
sur la face opposée. On fera la même chose par
rapport aux autres rhombes, et l’on aura ainsi 24
plans coupans , qui, joints aux six rhombes tracés
sur les faces du cube, composeront la surface du
triacontaèdre.
J’ai cru devoir, à cette occasion, examiner aussi le
triacontaèdre à plans rhombes égaux et semblables >
(Jîg. 149) que j’appelle symétrique, et dont il ne me
paroît pas que les géomètres se soient encore occupés.
Il est d’abord facile de voir que l’on ob-
liendroit ce solide , en tronquant un dodécaèdre
régulier sur ses trente arêtes, par des plans également
inclinés sur les pentagones voisins, de manière
à faire disparoître entièrement ceux-ci. On
auroit le même résultat, en tronquant l’icosaèdre
régulier sur toutes ses arêtes, qui sont aussi au
nombre de trente.
J’ai trouvé que ce triacontaèdre avoit trois propriétés
qui m’ont paru intéressantes. La première
consiste en ce qu’on pourroit aussi le construire,
en élevant sur chaque face du dodécaèdre régulier
une pyramide pentagonale qui eût cette même
face pour base, et dont la hauteur fut la moitié de
la ligne menée du centre de la base à l’un des
angles (1). Cette simplicité est d’autant plus remar-*-
quable, que les rapports entre les autres lignes
relatives, soit au dodécaèdre, soit au triacontaèdre,
sont exprimés en nombres irrationnels. Par la se*
conde propriété, le grand angle de chaque rhombe
du triacontaèdre est précisément égal à l’incidence
de deux pentagones voisins sur le dodécaèdre régulier,
c’est-à-dire, qu’il est de 1 i 6d 33r 321'. Nous
avons vu que le triacontaèdre de la pyrite o droit
une égalité du même genre entre le grand angle
de ses thombes, et celui que font entre eux les
pentagones voisins, sur le dodécaèdre de la même
substance. Enfin, par la troisième propriété , l’incidence
de deux rhombes voisins sur le triâcon*
taèdre est de I44d sans aucun reste, c’est-à-dire,
qu’elle est double de l’angle au centre dans le
pentagone régulier, en supposant celui-ci divisé en
(1) Rome de Lisle pensoit que l’on obtiendrait le triacontaèdre
à plans rlioiribes, en tranchant le dodécaèdre
régulier par ses arêtes jusqu’au centre , de manière à en détacher
12 pyramides pentagonales q u i , posées par leurs bases
sur les faces d’un second dodécaèdre semblable , donne-
roient le triacontaèdre dont il s’agit ( t . I I I , p. 234, note
io5). Les géomètres concevront aisément que dans ce cas
on auroit un solide terminé par soixante triangles isocèles ,
qui feraient entre eux des angles rentrans.
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