le plan qui seroit parti de l’arête AD , devroit
être perpendiculaire au carré ADGB. %
Imaginons que ces différens, plans au lieu de
s’arrêter au terme qui donneroit le dodécaèdre,
continuent de s’avancer jusqu’à ce qu’ils soient
arrivés au centre de l’octaèdre. Dans cette position,
il y en aura toujoürs quelques-uns qui passeront
par chaque tétraèdre , et il s’agit de déterminer
la manière dont ils soudiviseront ce tétraèdre.
Or, il est visible d’abord que comme il y a
toujours deux plans parallèles l’un à l’autre, tels
que ceux qui ont les arêtes AD, BG pour lignes
de départ, ces deux plans se confondent au centre
; et ainsi au beu de douze plans , nous n’en
n avons que six à considérer. Nous choisirons ceux
qui sont censés être partis des six arêtes AD, DM,
GM, AB, BM, AM.
Or, le plan qui est parti de A D , jet qui passe
maintenant par le centre c , doit en même temps
passer par la ligne acs , qui coupe AB , GD
en deux parties égales, et qui est parallèle à AD.
De plus , il doit être perpendiculaire sur le carré
ABGD, d’où l’on conclura qu’il doit passer par
le point M. Donc sa section dans le tétraèdre
abcd coïncidera : i°. avec l’arête ac de ce tétraèdre
; 2°. avec la ligne an menée de l’angle a
sur le milieu de bd\ 3°. avec la ligne en qui joint les
deux precedentes., d’où il suit que cette section
sera le triangle acn.
En
En appliquant le même raisonnement au plan
qui est parti de l’arête DM, on concevra qu’il
doit passer par l’arête bc du tétraèdre, par la
ligne bz menée de l’angle A sur le milieu de ad ^
et par la ligne cz qui joint les deux „précédentes,
c’est-â-dire, que la section est le triangle bcz..
Enfin , il sera facile de von* que le plan qui est
parti de l’arête GM doit passér par l’arête cd du
tétraèdre, par la ligne do menée de l’angle d sur
le müieu de ab, et par la ligne co qui joint les
deux précédentes , en sorte que la section est .le
triangle dco.
Les trois plans que nous venons de considérer
soudivisent la face abd du tétraèdre en six triangles
rectangles égaux et semblables, au moyen des
sections an, do , bz. De plus , ils passent par les
trois arêtes ac , bc, de , contiguës d’üne part aux
trois sections et de l’autre à l’angle solide c , opposé
au triangle abd. Donc ils soudivisent le tétraèdre
en six autres tétraèdres égaux et semblables
entre eux. Il sera aisé aux géomètres de déterminer
les quatre triangles rectangles qui composent
la surface de chaque tétraèdre partiel.
Le tétraèdre sfcg ayant sa base gsf opposée et
parallèle à celle du tétraèdre abcd, et son sommet
pareillement situé au centre de l’octaèdre, lés mêmes
plans qui soudivisent le premier opèrent nécessairement
dans le second des divisions semblables.
A l’égard des trois autres plans, qui partent des
T ome IV. R