und diese Formel gilt für einen einseitig bestimmten Höhenunterschied. Das Gewicht wird nun
Const. ' v -. ■■ .. •'
Pa ~ « s* + g s "' 1
Sobald derselbe aber auch durch gegenseitige Beobachtung bestimmt wird, wird der m. F. verringert, das Gewicht
also erhöht. Wegen der doppelten Bestimmung wird zunächst das Gewicht verdoppelt, in ß aber darf die aus der Beschaffenheit
des Terrains herrührende Unregelmässigkeit nicht mehr enthalten sein. Sind die Bestimmungen an den beiden Stand-
punten zu verschiedenen Zeiten gethan, so besteht also wohl noch immer eiu d . k, dieser ist aber kleiner als der so eben
gemeinte; man könnte ihn-und den Quotienten • ß durch ein Accent unterscheiden, so dass man dann hat
(m. F.):2 = , | (a S2 ± ß 1 S4)
* = ^ ; (*>
Werden die beiden Bestimmungen, wie die ip vorigen Theile, S. 7 bis 33, besprochenen, an den beiden Standpunkten
gleichzeitig ausgeführt, so ist .die Bestimmung des Höhenunterschiedes von k unabhängig, und man bat einfach
2 Const. ■ I /
Auf jedem Standpunkte wurden immer die Zenithdistanzen aller umliegenden Standpunkte, in der Kegel hinter einander
gemessen, so dass später die Gelegenheit vorhanden war, aus diesen sogenannten gleichzeitigen Beobachtungen den
Höhenunterschied verschiedener Paare abzuleiten; sind aber die beiden Messungen an verschiedenen Tagen, oder sogar an
verschiedenen Stunden desselben Tages ausgeführt, so fallt der Vortheil, dass bei beiden Messungen k genau denselben
Werth hat, weg und man hat einfach
. (m. F.)2 = 1 | | | j j | ¡ ¡ j j j j j g p | | &*),
also
■®5M “ <s’ .-+ * ’) + <«• + o “ ; - ■ V-1 • -, ’ V " ■- ; - 4 4 ^
welche Formel auch angewendet werden soll, wenn die beiden Standpunkte, deren Höhenunterschied bestimmt werden muss,
einander diametral gegenüber liegen; sei es auch, dass vom dritten Punkte aus die Zenithdistanzen beinahe zur gleichen Zeit
gemessen wurden. Liegen dieselben aber in derselben Kichtung, der eine weiter als der andere, so hat man offenbar, wenn
S > S ' ist :
’ (m. F.)2 i ( # - f tf2) 4 - ß. (S* 4 ^ 2)2,
also
• -■ | Consl. * - . H f l i
Pe « (s* + s**) + // (s* s 'y ’ v5)
wo dem Coefficient ß vielleicht am Besten ein Werth gegeben wird, der die Mitte hält zwischen den beiden bereits besprochenen
Werthen ß und ß'.
Die Formel (4) findet auch in den Fällen Anwendung, wo von zwei Stationen A und B aus, zu verscheidenen Zeitpunkten
die Zenithdistanz eines dritten Punktes C beobachtet worden ist. Dieser Fall wurde in den Versammlungstabellen
so angedeutet, dass der Höhenunterschied A — B, resp. B — A mittels C bestimmt worden sei.
Bei einem ersten Versuch, die Constanten in diesen Formeln festzustellen, diente die Discussion, welche ich bereits
im J. 1859, in der vierten Anlage zu meinem ersten der Indischen Kegierung als Chef des Geographischen Dienstes angebotenen
Berichte, (Verslag van den Hoofdingénieur van de Geographische Dienst in Nederlandsch Indië over Januari 1858
tot en met April 1859, in den Quarto-Abhandlungen der Kon. Natuurkundige Vereeniging, V l l Tbl., Batavia 1860), in Bezug
auf die de Lange’sehen- Breitebestimmungen bearbeitete; diese Bestimmungen zeigten das Bestehen kolossaler Lothabweichungen
zweifellos an, und es ergab sich ein mittlerer Fehler der Breiten == ± 7 ',6. Setzen wir den m. F. der Zenithdistanz,
mit den grossen Instrumenten gemessen,- + 1 \5 , mit den kleineren gemessen + 3 ,0, so würde der combinirte
m. F. zu T ,75 resp. 8",17 erhöht werden, Wofür der Bequemlichkeit wegen 8" genommen wurde.
Weiter wurde als rohe Annäherung für den m. Fehler des Factors k gefunden, soweit dieser sich mit der Terrainverschiedenheit
ändert: ± 0,0135; aus' den Unterschieden mit dem ar. Mittel aus den Bestimmungen aus gegenseitigen
gleichzeitigen Beobachtungen noch ± -0,0070, also im Ganzen
± y 0,0185* +,: (|;00702 = 0,0152. (6)
Es wurde endlich anfänglich für die Constante im Zähler die Zahl 10, und für die Einheit der Entfernungen das
Kilometer angenommen, wodurch a millionmal und ß billionmal vergrossert wird, und so erhielten wir erstens:
a = .0,jD8882 ^ 1 .0 ,0 0 1 505, ' - ,(7)
e f l ( - J i s r ) 2§ °’000 006 717 5’ c 7 l'.f
Ü h - (-jssrn)' I o;oo° 001 | 9 ■ ' ' I w *
so dass wir für die (mittleren Fehler)2 die nachstehenden Formeln erhielten:
Art der Bestimmung.
Einseitig . . . A . . . 0,001 505 | 2 + 0,000 005 717 5 $% (10)
Gegenseitig ungleichzeitig................................. B .. . 1 (0,001' 505 S* ■4 0,000 001 312 6 (H>
Gegenseitig gleichzeitig...................................... §05 s \ (12)
Von einem 3ten Punkte aus, ungleichzeitig. D. . 0,001 505 os»H B f e ) 4 - 0 ,0 0 0 j|o 5 717 5 («• + S'1) (13)
Von einem 3ten Punkte aus, gleichzeitig . . E . . 0,001 505 OS* + £?-) 4 - 0,000 005 717 5 (S» — (14).
In der Formel (10), wie auch bei gleichen Entfernungen S und; <S" bei Formel (13), haben beide Glieder bei
8 = 16,2 Kilometer gleichen Werth; in der Formel (11) erst bei 35,2 Kilometer.
Diese mittleren Fehler sind nun in Metern ausgedrückt ; nehmen wir die Gewichte ^ den (m.F.)2 umgekehrt proportional,
so muss, in der Voraussetzung, die Ooefficienteu ß und ß' seien richtig angenommen, nachdem jeder Höhenunterschied
aus den sämmttlichen Bestimmungen mit Rücksicht auf die Gewichte berechnet worden ist, wenn man aus den
Abweichungen der einzelnen Bestimmungen vom wahrscheinlichsten Mittel, e, den mittleren Fehler einer Bestimmung, deren
Gewicht = 1, also | j ableitet, dieser, also auch sein Quadrat, ^ 1 zurückgefunden werden. Nehmen wir aber die
Constante = f 10, so muss man nach demselben Wege, für eine Bestimmung deren Gewicht = 1, (m.F.)2 g e : 10 finden.
Findet man aber weniger, so haben wir die m. Fehler zu gross, also die Gewichte zu klein angenommen, und in
wiefern a oder ß an die Verkleinerung theilnehmen sollen, muss aus der Discnssion der a posteriori gefundenen m. Fehler
für eine Bestimmung deren Gewicht 1, bei kleinen und grossen S geschlossen werden.
Es versteht sich, dass dann wiederum nur eine Näherung erreicht wird, mit welcher eine zweite ähnliche Rechnung
ausgeführt werden soll, bis zwei auf einander folgende Näherungen eine volkommene Uebereinstimming in den Werthen
von » und ß, resp. ß ' zeigen. Es versteht sich aber auch, dass eine mehr als zweimalige Wiederholung keine praktische Bedeutung
hat, d. h. dass eine zweimalige Wiederholung für die Höhenunterschiede Werthe liefern wird, welche durch eine
weitere Wiederholung sich nicht erheblich ändern, und also für die Ausgleichung des Höhennetzes hini eichend genau sind.
Mittels der angeführten Formeln (10), (12), (18) und (14) wurden erst die (m.F.)2, dann die Gewichte berechnet
und in eine Tafel gebracht. Wir werdeu hier nur einen Auszug aus dieser Tafel geben, und zwar von 5 bis 5 Kilometern
und bis zu Entfernungen von 60 Kilometern, während wir sie von Kilometer zu Kilometer und bis zu Entfernungen
von 85 Kilometern berechnet hatten.