lorsqu’en 1819, je commençai la construction des levés que je
taisais alors sur la côte méridionale du Brésil, je reconnus que
ces lign e s, et en général toutes les lignes géodésiques, devaient
être représentées sur cette esjjèce de projection par des lignes
courbes. En effet, les relèvements qui sont, pour chaque
lieu où on les prend, des sections de la surface du globe ¡jar
les plans des verticaux célestes, coupent sous des angles inégaux
les divers méridiens qu’ils rencontrent à mesure qu’ils
s’éloignent de leur origine, eouséquemment, pour conserver
la même propriété , sur les cartes réduites , où les méridiens
sont re]>résentés par des lignes droites parallèles entre elles, ils
doivent se développer sous des formes curvilignes.
« Euler a fait le premier remarquer que les lignes géodésiques
se projetaient sur la carte réduite par des courbes transcendantes
: il en a donné féquation pour le cas ou l'origine de ces
ligues est placée sur l’équateur; mais M. Lacroix considérant
la question dans toute sa généralité, a trouvé les équations des
différentes espèces de lignes que peut produire le développement
de la ligue géodésique sur quelque projection du globe
que ce soit, et quelque part que l’on suppose f origine de cette
ligue. A l’aide de l’équation de la courbe qui représente le développement
de la ligue géodésique sur la carte réduite, on
pourrait assez facilement construire par points les lignes des
relèvements ; mais on conçoit qu’il laudrait beaucoup de
temps pour en construire ainsi un fort petit nombre; il ma
semblé préférable, pour n’avoir que des lignes droites à tracer,
de substituer à la courbe , considérée daus une étendue déterminée,
la loxodromie qui passe par ses points extrcines, et qui
sur la carte se représente par une ligne droite. Pour opérei-
cette substitution , il suffisait de trouver l’expression analytique
de la valeur de l’angle formé à l’origine de la courbe entre
la tangente et la corde qui sous-tend la portion de cette courbe
que fou considère.
« M. L ac roix, qui a la bouté de m’iiouorer d'une bienveillance
toute particulière, a eu l’extrême obligeance de me communiquer
l’équation de la courbe qui reiiréseute le développement
de la ligne géodésique sur la carte réduite ; et en la combinant
avec l ’équation de la loxodromie sur la même esjièce de
projection dti globe , j ’ai trouvé que la valeur de l'angle eberché
était exprimée par la série suivante :
- P s in . L — — P s in . P c o t. z i — G c o s .’ L — .. . e l c . ,
dans laquelle P exprime, en secondes de degrés, la différence
de longitude entre le lieu où est placé l’observateur et le point
sur lequel le relèvement est dirigé; z l’angle azimutal observé,
ou rinclinaisoii de la ligne du relèvement sur le méridien, et L,
la latitude du lieu où le relèvement a été observé.
.< Lorsque l’angle azimutal z , est compté à partir du pôle
élevé, à l’est ou à l’ouest jusqu’<à 180°, s’il y a lieu, la valeur
exprimée par la série, ou la correction qu’il convient de lui
appliquer pour avoir l’angle que fait avec le méridien la loxodromie
substituée au développement de la ligne du relèvement
, doit être ajoutée à l’angle azimutal observé : elle devrait
en être retranchée si les azimuts étaient comptés à partir du
])ôle abaissé.
<c La série ci-dessus, qui est très-convergente, donne avec
beaucoup de précision la valeur de la correction qu’il faut faire
à l ’angle azimutal observé tant que la différence des longitudes
entre le méridien de l’observateur et celui de l’objet terrestre
qui a été relevé n’excède pas deux degrés ; au-delà de celte
limite , elle pou rrait, dans des opérations très-délicates, n être
plus d’une exactitude suffisante ; mais à moins d’opérer sous
des latitudes très-élevées, cette circonstance ne saurait se présenter
; c a r , à 60° de latitude , l’azimut étant de 90°, il y aurait
Voyage d t la Coquille. — HYDROGRxrBiE, 6