Kauten. F l ä c h e n , Heken
Tetraede r hat U 4 A 4
Hexaeder (Wii irfel) 12 G • Ö
Oktaeder 1 2 Ö A 6
Dodekaed 3 0 1 2 0 2 0
Ikosaeder 3 0 2 0 A 1 2 )
1 2 9 . So n a c h entwickelt licht
c h ah
k i l l
L'r-Mas-se d e r Ku g e l di e \ ieitluilunj--, di e Avenbildiiiig: uiul
die DarslelJuug d e r \Vürfi-l- u n d Okt a c aorg. '»t aU, soiul . rn wir
sehen aucli e i n , dass alle d e u k b a i e Fur a lklki c i '^ e (z. R. p. l>.
flg. I I . ) um di e einmal g e b i l d e t e Ax e ( o . ) , d u r c h j e n e Vi e r -
t h e i l n n g wi e d e r in vier gl e i ch e Th e i l e g e t h e i l t we r d e n , aus
welcher V i c r t h e i l u n g daun, d u r c h neue Th e i l u i i g, di e A c h t -
t h e i l u i i g , dami d i e S e c h s z e h n t h e i h i n g , also a u c h das
Viereck, Ac h t e c k , Se chs z e lme c k u. s. w. h e r v o r g e h e n . No c h
m e h r , diese Th e i l i i n g e n we r d e n wi e d e r f ü r neue The i lui ig>-
reihen f r u c h t b a r , indem di e ge the i l t e Seite des Acht e cLs wi ede r
das Mass a b g i b t , we l c h e s , b e z o g e n auf di e von d e n ei-sten
vier Th e i l u n g s p n n k t e n des Krei-e - g e z o g e n e « Ra d i e n (also y.
i,f y. c. [hier als Ra d i u s g e d a c h t ] u n d
n E n d p u n k t des a jul eni Ra d i u s o aU
ß. als y. d. ttberlragen
nun â b e z o g e n auf d<
i j o ) d i e F ü n f t h e i l u n g des Kr e i s e s , a l so a u c h da s F ü n f e c k
b e d i n g t , aus we l c h em daiui abe rma l s die Z e h n - u n d Z w a n -
z i g t h e i l u n g , o d e r da s Z e h n - und Zwa n z i g e c k h e n o r g e h e n
werden.
A n m e r k u n g . Die The i l ung der Kugel in %icr Th e i l e , we l -
che d u r c h zwe i , iu ciucm gegebenen P u u k l c r echtwinkl ig sicii
durchschneidende, grOssle Kreise gebildet wird, seheiul als U r -
phanomen des organi f chcn Lebens angesehen we rden zu mü s -
sen. — Die mannichfaltigstcn Er s che inungen an den E r d - luid
\Tcl(körperE, die k r e u z f ö rmi g e n Polarisationen des Li c h t s die
Licht Wi rkungen, welche als ScJsein, Gegenschciu imd gevierter
Schein bezeichnet we r d e n , die Th e i l u n g des Horizonts in vier
Welsgegenden, wie aii b o h e r u Einzelwesen die Tlicilimg des
Uinfangs in Rü c k c n u n d Bauch, r e d i t e u n d l inke Seite U. s.
w. • werden von iiier aus bcslimnit.
130. Ist nun diese g a n z e Re i l i
abgegangen von «lern g r ö j s t e n Rr e i -
,on Th e i l u n g e n zue r s t
aU l - r -Ma - s und L r -
Theiluiigsprincip de r Ku g e l : so f r a g t sich n u n , «e l c l i e s L r -
Mas=, u n d Ur -Th e i l u n g s p r i n c i p wi e d e r f ü r d e n grö->tea KrcU
nachgewiesen we r d e n kann. a b e r de r grö^^te Kr e i s die
Kugel be s t immt u n d (he i l t ; so w i r d d e r K r e i ^ b e s t i m m t
e i n e n H a l b m e - s e r . De r Ha l b -
tiem bekannt en g e omc t r i - c h en L e h r -
gleiche T h e i l e ; und >o finden wir
-ilungen de r Ku g e l d u r c h ein ihr
b e d i n g t , und , owo h l d u r c h Ve r -
i-lfachung dieser T h e i l u n g , a l .
u n d g e l h e i l t d u r c h -
mcsser the i l t abe r , n a c h e
satze , d e n Kr e i s in s e c h r
hier eine neue Re i h e T h .
selbst e inwohnende s
einfachung als d u r c h
endlich d u r c h Ve rb i i ul un g
T h e i l u n g - r e i h e n , e r g e h e n
ilie.-er und d e r v o r h e r b e s c l u i e b e n e n
i c h neue Einthe i lunge n de s Kreises
i g e ome t r i s c h e F i g u r e n . « h lig. HI . ,ei de r I l a lbi
so hl ab =• b b. Die \ ' e r b iml u n g «lie-er Tlu- i lungs p unkt e <1<-,
Krei=es g i b t das S e c h s e c k ( 6 6 6 6 6 6 ) , un.l die Ve r b i n -
dung von j e zwei T h c i l u n g - p u n k t e n o h n e di e zwischen ihne n
liegenden mi t t l em Th e i h . n g>p u n k l e da» D r e i e c k (c c c ) .
Nochmalige T h e i l u n g d e , Se c h s e c ks wü r d e das Z w ö l f e c k
geben u. s. w. Wi e uns abe r f r ü h e r , d u r c h Be z i e h u n g d e r
Seeh>zehntheilung de s Krei-es auf <lie Vi e r the i lung, da s F ü n f e c k
enl^tand: so e r h a l t e n wir, d u r c h Be z i e h u n g d e r Se c h - t h e i l u n g
if di e Z e hmh c mg. d a , F u n f z e l i ; k . (6 d sei di e Seite
eines Z e h n e c k - . 6 6 die Seite des Se chs e cks , so wi rd 6 6 - .
db — cf. = f.f = f S ) .
l a i . In wieIVvn nun d u r c h da s Vo r h e r g e h e n d e die Gp.
nesi-< <ler. Th e i h n i g e n eines grös^ten Kreises <ler Ku g e l in 2. 3,
4 , ü. H, 10, 1 2 , 1 5 , Iti u. s. w. n a c h g ewi e s en i s t, iiii,|
in wi e f e rn dieselbe T h e i l u n g , we l c he «len grö- s len Kr e i s theilt,
auch ji-clen getlenkbar.-n ande rn l'aralh-lkreis theilen uhihs: so
residtiren hi e r aus zugl e i ch <lie T h c i hmg e n de r g a n z e n Kugelfläche
in 2. 3. 4, ft, (5, 8 S e gme n t e u. s. w. d u r c h gröbste, iii
den Tol en (luich Art de r F r d n u r i d i a n c ) sich s chne idende Kr.i-..
(Bei<piel einer auf die-e We i s e g e t h e ü t e n Ku g e l l l ä c h o s. T, Ii
flg. M . an de r mi t t l em Ku g e l «. )
A n m e r k u n g . Wc u n k ü n f f i g c Bctraclitnngcn tias Getheiltsein
gr6s.>.lci- Kreise iu den Test Gebilden der T h i e r k b r p o r , z,
B. de r Skelctringe (z. Ii. Tig. W l . ) nach
d em dieser VerJiàltnis.so, oder das Gcthciltscin
Skehtkuj-cl ( a . I 3 ,T. l l l . / l g . lH. ) nucli einer oder de
von Sej^menteu darlegen we r d e n : so werden wii
hier gegebene Conslniction dieaor The i lungen sie
haben.
ullich kcnuien wir ni cht umh
der dem aligner
ganzcii
«ndcrn Zahl
uns auf die
zu bezicluu
132. F n d l i c h können wl
>0, wie oben g e z e i g t wu r d e , da
eben
lung
ngellliiche, d . n e h Ei n z i e he
l ' o l e , dei
teru T h e
hähiii-^en
Segmente
(von >ier g l e i c h e n gleichzeitigen Dr e i e cken begvänz t ) , de^ Do -
d e k a e d e r s (von zwölf g l e i c h e n gleichs ei t igen Fi lnf e cke n begriinzt)
diu
der !• ih
bemerken, d a -
infachste Thei-
Segmente od<i
1 W ü r f e l u n d da s O c t a e d u r b i l d e , aus d e n weiluugen
d e r Ku g e l f l ä c h e , a u c h n a c h u n p a a r i g en Vcvdurcli
di e ICinziehung einer gewi-'>en Anzidil von
i d e r Ku g e l l l ä c h e , di e Bi l d u n g des T e t r a e d e r ,
gleichen gleichzeitigen Dr e i e cken begi ä n z t ) , ds
r s (von zwölf g l e i c h e n gleichseitige
u n d de s I k o s a c d e r s (von zwanz ig g l e i c h e n gleieh-
»eitigeu Dr e i e cken b e g r ä n z t ) h e r v o r g e h t . — Di e we i t e r e EtUwickelung
dieser F o rme n ka im j e d o c h hi e r ü b e r g a n g e n werden,
d a diese fünf , >on g l e i c h e n ge r adl inig umg e b e n e n Fl ü c h e n begränzteii
Kö r p e r , mit allen i h r e n Weilern Modi f i c a t ionen, wesentlich
in da s Krvs t a l l r e i ch g e h ö r e n , u n d n u r d a , da r f niclil
unerwähnt bl e iben, da-:s die>e Re i h e vül lkonnnen regelmässiger,
imierhalb eines sphäri-ichen Ra ums zu b e s c h r e i b e n d e r Körper,
mit de r Ku g e l -^elbzl d e n er-ten Xumcrus pcrfcclus ( d e n dureli
Addition und .Multiplication s
er Fu c t o r e n g l e i c h e r Wei^e eut-
stellenden), d, i. d i e S e c l
; a h l (da 1 + 2 + 1 X
2 X 3 = H) dar>tellen, «•ii
Z a h l , die für alle h ö h e r e orgi-
ni-che T h e i l u n g so wi c h t i g
, - i ch auf di e Grmi d z a h l alter
Differenzirung, die Dr
zahl gtüiul e t , und hi e r sich so entzchif
den wi rks am z e i g t , dü
, wie di e ( i e ome l r i e na chwe i s t , Collis
-Iruclioiien von me h r
diesen sechs <hiv<'haus regeljnii>?ig
begränzteii Kö r p e r n ii
erhall) einei vphäri^chen Ra ume s ab^u
lui unmögl i ch >ind.
b. r,ni der ilcri'orbildung des Doppclhcgih
und d<s CnUndcrs aus der hnfrd
133, L'm diese Gene>i> deut l ieh v.ü. ma c h e n , mi d zi
nächst di e geome t r iH'hen Fi g c n l h i iml i c h k e h e n d i c e r (Je-l;di.
näher zn e r ö r t e r n : —
l-U v e r h ä l t s i e h n äml i c h , n a c h Au r
E n t d e c k u n g , e i n K e g e l , w e l c h e r d e n g
e i n e r g e g e b e n e n K u g e l z u r (
D u r e h m e s . e r d i e s e r K u g e l zu
, e r K u g e l w i e I : 2 , und f e r n e r :
C l ü n d e r , w e l c h e r zu me i n e n
u n d f l ä c l
H ö h e h:,
b e i d e
g r . . -
k r<
d de
II die
h ä l t > i c h ei
n C; r u n d l l : >
d e m K<
f l ä c h e
K v e i ä d
r H ö h e w
K u g e l w
; h e m D
l e n g r ö s s t e i i
n i d zu s e i n e
h a t , zu j e n e :
• g e l m i t g i e i .
d g l e i c h e r H ö h
r s e l b e n g e g e b e n
e d e r d e r e n D u r e
e 3 ; 2, f o l g l i c h
c h m e s s e r d e r G r u i
e 3 : L —
37
I s
s
Da Ku g e l , Cylinder und Kegel Kö r p e
iig in imendlich viele Purallelkreise
A n m e r k u n g ,
wclclic eine Thcil
sen, und da von selbst einlci
rallclkrciso sicli .selbst und de
ilut, dass
beiden G
ader
mussen, dass hingegen beim Kegel die P
Grundllache gegen die Spitze h i n , uiid n.
nein äugen o min enen gros.sten Kreise gogei
abnehmen miisscQ, u n d dass dieses Abnc.
sen, geselzmässigea Progression erfolgt
lie P a -
ich sein
on der
m Cyl
mdlUchen gl
irallel kreise
der Ku g e l , von c
die beiden Pole Iii
imcn in einer gewi
jüsse: so wi rd es j
deii l'ulls zur Vollstäudigkeit gehören, diese Progression mi t a n -
Ks sei also ein Kegel hinsichtlich scüier Grösse imd des
Durchmessers .seiner (irundflaclio = dem Gruudme s s c r einer
gegebenen Ku g e l ; es werde f e rne r die IlOhe dieses Kegels in
gleichen Abständen dur ch zolin Parallclkrcisc getheilt: so ist die
Progr
lelkrc
5 . - .. 4 . . .. 3 . . .. 2 . . I i . . 1 • . i- Differenz de r
Glieder ist also i. Es werde f e rne r die Grnndf l a cbc die.ses
Kegels aDgenominen als der grösste Kreis einer Ku g e l , so
wird diese Kuge l dadurcli in zwei Ildinci
de
w , in w-clcher d i e H a l b m e s s e r dieser zelin Pa r a l -
von der GrundAa che , deren Uur chmc s s c r aiigenoinnien
wiid gleich 10, gegen die Spitze a b n e hme n , folgende:
erstgegebenen Kegel an Inha lt gleich
getheilt, deren jede
eine die.^er llalbkugeln dem Ke ge l ) in gle
wieder d u r c h zehn Parallelkrci.se eingetheilt,
grcs.sion, in welcher die H a i b i n e s ;
kreise von der Grundfläche de
lin e s s e r dieser zebu Parallel-
Halbkugel bis gegen ihr en Pol
icdc der Uui
•n wird.
/ 91
6
Nun we rde abe r
eben Abstanden
io ist die P r o -
im CSS er
/ 8 4
7
ivper sich zu enlwickeh
V s l ä l i g , i n d i f f e r e n t
I g e n , und kami >ofort du
! K u g e l , sich gestalten,
•enz n a c h einer ode r «1er ai
ien nun 6 c rf ve r s chi eden
l'unktes <f, so wollen wir di e
ner gewi^sen Stuf e Ii
len. Od e r abe r 2)
S l ä l i g k e i t
e g e n s e t z
" f f
als di e auf eiluktes
« b e l r a c h -
m i t g l e i c h c i
a b e r in a b - ^ o l u t e r D i f f e r e n z , iu r e i n e r
l g sich na ch d e n R i c h t u n g e n « / u n d a g
grö>>te Ki n f a c h h e i t , mit we l c h e r diese
Wickelung e r f o l g e n k a n n , ist di e zu z w e i
D o p p e l k e g e l , wi e wir nun diese
(ft i. a. a. I. l.-.). Fs i-^t die,ev Kö r p e r
lg f ivin g e d a c h t , auf einer S t u f e , we l c h e
der Ku g e l ent spr i cht , seinem Inha l t e n a c h imme r n o c h
§ . 1 3 3 . ) de r Ku g e l e e c c , da Ku -
G
entwickeln, und di
entgegengesetzte
K e g e l n , o d e r e i l
l-'orin nennen köiin.
in seiner löntwickeli
durchaus gl e i c h (s o b
die Gr u n d -
. . / 75 . .
g
abniOimcn, folgende, wobc
iladie = 10 = /• 100 angcnomi
100 .. / 99 . . / 96
DilTcrenz der Glieder 1 S
64 . . / 51 . . / 36 .. / 1?.
11 13 13 17.
134. Na c h diesen Be t r a c h t u n g e n übe r di e bekami t e n
geometrischen Ei g e n s c h a f t e n dieser Kö r p e r , schreiten wir nun
zur An e r k e n n u n g ihr e r g e o m e t r i s c h e n F o l g e , we l c h e we -
niger b e a c h t e t und d o c h , so wie im Al l g eme i n e n , so insbe -
sondere, Tür die Bi l d u n g de.s S c h a l e n - u n d Knochensys t ems
\ o n de r ausgezeichnetsten AVichtigkeil i>t. ^Lm n e hme also z u -
luichst das S c h ema T. IL Hg. IV. zur H a n d : —
ISr). Iis sei « ein Punk«, we l c h e r d u r c h f o r l g e h c n d e ,
gleichmä«>ige Ve rgrös s ennig zu einem r ege lmä s s ig begränzU'ii
s t r e b t , so wird die^es 1) e i i t w e -
iM.d a l l s e i l i g z u g l e i c h c r -
chaus kein ande r e r Kö r p e r , als
Wir h a b e n h i e r o h n e alle Di f -
nlern Ri c h t u n g di e reine Thcsis:
. St u f e n de r \Vrgrö>ser«n2- d.
Kugel c e c e.
ivte l';ntwickelung des 1'
rd de r r i i n k t a
gel zu Ke g e l sich v e r h ä l t , wie 2 : 1. t - In dieser Bi l d u n g
ist somit di e reine Jnt'ilhcm ausgesproclien. —
136. Als ein d r i t t e s Gl i e d in d i e s e rEn twi c k e l u n g s r e i h e
wird es a b e r g e f o r d e r t , dass da s Ge t r ennt e wietler zu e ine r
Einheit v e r b u n d e n we r d e , we l c h e s g e s c h i e h t , w e n n a l l e
P a r a l l e l k r e i s e d e s D o p p e l k e g e l s s i c h u n t e r e i n -
a n d e r u n d m i t d e n G r u n d f l ä c h e n b e i d e r K e g e l
g l e i c h s e t z e n . Wi r e r h a l t e n d a d u r c h d e n Cy l i n d e r , we l -
cher zu seinem Du r c hme s s e r d e n Du r c hme s s e r «ler bis zu ei -
ner gewissen St u f e entwi cke l t en Ku g e l uiwl zu seiner Hö h e
den «loppelteii Du r c hme s s e r <ler Ku g e l ha t . — In i h m
ist sona ch di e reine S y n f / t e s i s g e g e b e n . — De r Cyl inde r
l h Î k wi n l sich n u n ( d a d e r Cyl inde r v o n g l e i c h e r H ö h e u n d
g l e i c h em Du r c hme s s e r mit einer g e g e b e n e n Ku g e l s i ch v e r -
hält = 3 : 2 ) ve rha l t e n zu d e r Ku g e l c c e e = 6 : 2.
Und wir e rha l t en also im (iauzei i tlie F^ntw i cke lungs r e ih e
Kugel 1 o d e r in ganz en Za h l e n Ku g e l 2
X Do p p e l k e g e l X
Cvli
Doppelkegel l
lier 2 X 3 = 6.
Griindverhältniss in
und Kn o c h e n g e r ü s -
Doppelkegel seiner
Cvliiider 3
E i n Zahl enve rhUl tni - s , we l che s sich ah e
der ganz en En twi c k e l u n g s r e i h e de s Schalei
tes s chon de s s ha lb b ewä h r e n wi r d , weil d
Eigeuthümlichkeit n a c h , de r e i g e n l h üml i e h e n Be d e u t u n g de s
Knochens ent spr i cht (s. §. 1 2 3 . ) .
A n n i e r k n n g . Nn r vorläufig wollen wir hi e r da r auf a u f -
merksam ma c l i eu, dass eben so f u r die Festgcbildc des T h i e r -
k ö r p e r s , welchc andere Or g a n e , (Ei n g ewe i d e , Ne r v e n k n o t e n
n, s. w.) nms chl ic s s cn, die Ho h l k u g e l mit den aus i h r abge -
leiteten Tornien (der in me h r e r e The i l e zerfallenden Ho h l k u -
gel, dem Ellipsoid, dem Ringe u. s. w.) de r wa j i re P r o t o t y p n s
i s t , eben so die aus der Kn g e l he rvorgehende Gestalt des Do p -
pelkegels imd des daran sicli anschliessenden Cylinder s die U r -
formen sind f ü r alle ihr e r Na t u r nach ke ine We ichgebi lde
nnischliesscnden Pestgebilde, d. i. f ü r .ille sich d u r c h a u s e o n -
solidirende, also r e cht eigentlich den Kn o c h e n schlechthin d a r -
stellende Kn o c h e n , z. B. fi aU(
nnd die ihr em We s e n nacfi iiin
knochen *).
1 3 7 . Die^s wä r en d e n n di
gel sich entwi cke lnden Ge s t a l t en;
sogenannten Wi r b e l k ö r p e r
völlig gleichen Glicdniass-
; h e n Ki i -
kommen nun
c. Enlivickclung der durch J'erviclfültigunff
dc8 Kufrehn-iliclpnuhls ,tnd der Kugelflächc
hervorgehenden organischen Grundformen.
Wemi näml i ch d e r P u n k t n T. IL flg. VI . , von we l c h e m
aus bei allseitiger Gl e i c h h e i t d e r En twi c k e l u n g , sich d i e K u -
gel 6 6 bi lden wü r d e , ni cht bloss seine di f f e r enz i r t e Entwi c -
keluug n a c h zwei Seiten r i c h t e t e (wo r a u s d e r Do p p e l k e g e l
eulstände und de r P u n k t a imme r e inf a c h b l i e b e ) , s o n d e rn in
zwei n e u e P u n k t e , als .Mittelpunkte f ü r b e s o n d e r e Ku g e l e n l -
wickelimgen ^ich t h e i l t e , c c': ^o wü r d e n d a r a u s d i e b e i d e n
in e inande r g e s c h o b e n en Ku g e l n d d u n d e c h e r v o r g e h e n . —
Bei tlieser inne r l i chen T h e i l u n g einer Ku g e l in me h r e r e K u -
I Dass die Form des Doppelkegels eine Gi-uiidfovm fiir «las Skelet
aller huliern Thierc sei, hat D utrociiet ncucrlich rccht gut, ob-
WüJd bloss ciiipiriseh, aufgcfuiidcii und iiaviiscwicsen, indem er
auf die Enlwickclunjjsgoschiihtc, besonders der Satamanderknoebeii,
Kiicksiclit naliin. Kr iictniL <iic Kiiocben, welclio in dieser
1 rforin sich bilden, os dicönes. S. Bulletin des sciences de la soc.
philom. 1821. l'cbv. p. 21.