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chaque intervalle diatonique mineur correfpond
un intervalle chromatique fupe rflu, & à chaque intervalle
diatonique majeur correfpond un intervalle
chromatique diminué. T out intervalle en montant,
qui vient de quinte, eft majeiir ou diminué, félon
que cet intervalle eft diatonique ou chromatique ;
é c réciproquement tout intervalle majeur ou diminué
vient de quinte. T o u t intervalle en montant,
qui vient de q u a r te , eft mineur ou fupe rflu, félon
que cet intervalle eft diatonique ou chromatique ;
ôc vice v t r fâ , tout intervalle mineur ou fuperflu
vien t de quarte. C e feroit le contraire fi l’intervalle
étoit pris en defcendant.
D e deux intervalles correfpondans, c’ eft-à-dire
l ’un diatonique & l’autre chromatique, & q u i, par
conféquent v ien n en t, l’un de quinte & l’autre de
quarte ; le plus grand eft celui qui vient de quarte ,
& il furpaffe celui qui vient de quinte , quant à la
grada tion, d’une un ité ; & quant à l’intonnation,
d’un in te rv a lle , dont le rapport eft 2 7 : n '2 ; c’eft-à-
dire 1 2 8 , 12 5 , cet intervalle eft la fécondé diminuée,
appellée communément grand comma ou quart
de ton ; 6c v o ilà la porte ouverte au genre enharmonique.
Pour achever de mettre les leô eu r s fur la vo ie
des formules propres à perfe&ionner la théorie de
la mufique, on a tranfcrit ic i , f ig . 3 . les deux tables
de progreflïons dreffées p a r M . de Boisgelou , par lef-
quelles on v o it d’un coup-d’oeil les rapports de chaque
in te rv a lle , & les puiflances des termes de ces
rapports félon le nombre de quartes où de quintes
qui les compofent. On v o it dans ces formules, que
les femi-ton s font réellement les intervalles primitifs
& élémentaires qui compofent tous les autres ;
c e qui a engagé l’auteur à fa i r e , pour ce fyftèm e ,
un changement confidérable dans les caraûeres , en
divifant chromatiquement la portée pa r intervalles
ou degrés égaux & tous d’un femi-ton, au-lieu que
dans la mufique ordinaire chacun de ces degrés eft
tantôt un comma, tantôt un fem i- t o n , tantôt un
to n , & tantôt un ton & d em i, ce qui laifle à l’oeil
l ’équivoque & A l ’cfpxii le doute de l’in te rv a lle ,
puifque les degrés étant les mêmes, les intervalles
font tantôt les mêmes & tantôt différens. Pour cette
ré forme il fuflit de faire la portée de fept lignes au-
lieu de c in q , & d’affigner à chaque pofition une
des douze notes du clavier chromatique c i-d e v an t
in d iq ué , félon l’ordre de ces n o te s , lefquelles rel-
tant ainfi toujours les m êmes, déterminent leurs intervalles
avec la derniere précifion, & rendent ab-
folument inutiles tous les d iè fe s, bémols ou béquar-
r e s , dans quelque ton qu’on puiflë ê t r e , & tant à la
c lé qu’accidentellement. V o y e z l ' échelle chromatique
fans dièfe ni b ém o l,fig . 4. & l’échelle diatonique,
fig. 5. Pour peu qu’on s’exerce fur cette nouvelle
maniéré de noter & de lire la mufique, on fera fur-
pris de la netteté , de la fimplicité qu’ elle donne à la
n o te , & de la facilité qu’elle apporte dans l’e xécution
, fans qu’il foit poflible d’y vo ir d’autre inconvénient
que de remplir un peu plus d’efpace fur le
pa p ie r, & peut-être de papillotter un peu aux yeu x
dans la vîteffe par la multitude des lign e s , fur-tout
dans la fimphonie.
« L a fig . 6. repréfente le réfultat d’une expérience
» qui eft te lle , qu’ayant tiré les regiftres convenab
l e s d’une orgue ; qu’on touche enfuite la pédale
» qui rend la plus baffe note marquée dans cette fig.
» toutes les autres notes marquées au-deffus réfon-
w neront en même tem s , & cependant on n’enten-
» dra que le fon le plus grave. Le s fons de cette férié
» confondus dans le fon g rav e , formeront dans leurs
» rapports la fuite naturelle des fractions
» &c. laquelle fuite eft en progreflion harmonique!
st Cette même ferie fera celle des cordes égales, ten-
Q U E.
» dues pa r des poids qui feroient comme les quar-
» rés 7 ^ 7 TjrâTTô » ^ c’ ^es mêmes fra&ions fufdites,
» & les ions que rendroient ces cordes font les mêmes
» exprimés en notes dans cet exemple. Ainfi d o n c ,
» tous les fons qui font en progreflion harmonique
» depuis l’unité, fe réunifient pour n’en former q u ’un
» fenfible à l’o re ille , & tout le fyftème harmonique
» fe trouve dans l’unité ».
L a fig . 7 . repréfente un réfultat abrégé de l’expérience
dans laquelle un fon grave eft produit par le
concours de deux fons a igu s , ce qu’on aura lieu d e
détailler plus amplement dans la fuite. Voye^ les
m ots Fo n d amen ta l, pag. 6 2 , col. 2 . H armoni-,
QUES, & ci-après la PI. X V I I . & fon explication.
Figure 8. Pour entendre cette fig . &c les fuivantes,’
nousfommes néceflîtés, forcés de re courir au lÿftè-
me du célébré T a rtin i, auquel elles ont rap p o r t; &
pour cet effet nous fuivrons à la lettre l’extrait lumineux
qu’en a donné M. Rouffeau.
L e principe phyfique de l ’harmonie eft u n , comme
nous venons de le vo ir ci-de ffus (Jig. 6 .) & fe
réfout dans la proportion h armonique. O r ces deux
propriétés conviennent au c e rc le ; car nous verrons
bien-tôt qu’on y re trouve les deux unités extrêmes
de la monade & du fo n ; & quant à la proportion
harmonique, elle s’y trouve aufli, puifque dans quelque
point C , que l’on coupe inégalement le diamètre
A B , dans cette figure, le quarré de l ’ordonnée
C D fera mo yen proportionnel harmonique, entre
les deux re&angles des parties A C & C B du diamètre
pa r le ra y o n ; propriété qui fuffitpour établir
la nature harmonique du cercle : car bien que les
ordonnées foient moyennes géométriques entre les
parties du diamètre, les quarrés de ces ordonnées
étant moyens harmoniques entre les re û an g le s ,
leurs rapports repréfentent d’autant plus exa&ement
ceux des cordes fonores , que les rapports de ces.
cordes ou des poids tendans font aufli comme les
q uarrés , tandis que les fons font comme les racines.
Maintenant du diamètre A B (fig . 9. ) divifé félon la
férié des fraû io n s \ y y ÿ ÿ , lelquels font en progref-
fion harmonique, foient tirées les ordonnées C , C C ;
G ,GG; c ,c c ; e , cc j& c g , g g. L e diamètre repréfente
une corde fo no re , q u i, divifée en même ra i-
fo n , donne les fons indiqués dans l’exemple O ( fig ,
if>.) Pour éviter les fractions, donnons 60 parties
au diamètre, les fe r io n s contiendront ces nombres
entiers. B C = '= 3 0 ; B G = | = 2 0 ; B c = ^ = i 5 ; B e=s
D e s points où les ordonnées coupent le cercle^
tirons de part & d’autre des cordes aux deux extrémités
du diamètre. L a fomme du quarré de chaque
corde & du quarré de la corde correfpondante, que
j ’appelle fon complément, fera toujours égale au
quarré du diamètre. Les quarrés des cordes feront
entre eux comme les abfciffes correfpondantes, par-
conféquent aufli en progreflion harmonique, & re-
préfenteront de même l’exemple O , à l’exception
du premier fon.
Les quarrés des complémens de ces mêmes cordes
feront entre eux comme les complémens des
abfciffes au diamètre, par conféquent dans les ra i-
fons f u i v a n t e s ,A C î = x = 3 o ; A G 1 = - ’- = 4 0 ;
A c" = \ = 4 5 ; A e 2 = y = 4 8 ; A g 1 = 7 = 5 0 ;
& repréfenteront les fons de l’exemple P (F ig. 10.) ;
fur lequel on doit remarquer en p a ffant, que c e t
exemple comparé au fuivant Q & au précédent O ,
donne le fondement naturel de la réglé des mouve*
mens contraires.
Les quarrés des ordonnées feront au quarré 36 00
du diamètre dans les raifons fuivantes : A B 2 = 1 é s
3 6 0 0 ; C , C C 2 = ~ = 9 0 0 ; G , G G 2 = ^ = : 8 0 0 ;
c , c c 2 = = ($75 ; T T ô ë 1 = £ = 576 ; g , g g *
M U S
77 = çoo ; & repréfenteront les fons de l’exemple
Q (même f ig .) .
O r cette derniere fé r ié , qui n’a point d’homologue
dans les divifions du diamètre, & fans laquelle
on ne fauroit pourtant com p lé te r le fyftème harmonique
, montre la néceflîté de chercher dans les
propriétés du cercle les vrais fondemens du fyftème,
q u ’on ne peut tro u v e r , ni dans la ligne d roite , ni
dans les feuls nombres abftraits. Ce tte théorie étab
lie , il s’agit maintenant d’en déduire les faits donnes
& les réglés de l’art harmonique.
L ’o é la v e , qui n’engendre aucun fon fondament
a l, n’étant point effentielle à l’harmonie, peut être
retranchée des parties conftitutives de l’a c co rd ;
ainfi l’accord réduit à fa plus grande fimplicité, doit
être confidéré fans elle. A lo rs il eft compofé feulement
de ces trois termes 1 ÿ } , lefquels font en proportion
harmonique, & où les deux monades j f font
les feuls vrais élémens de l’unité fo n o re , qui porte
le nom d’ accord parfait ; car la fra â io n ~ eft élément
d e I’o ftav e 7 , & la frattion j eft ottave de la monade
y.
C e t accord parfait 1 jf, produit par une feule
c o rd e , & dont les termes font en proportion harmonique
, eft la loi générale de la nature, qui fert
de bafe à toute la fcience des fons ; lo i que la phyfique
peut tenter d’e xp liq u e r, mais dont l’ explication
eft inutile aux réglés de l’harmonie. Les calculs
des cordes & de poids tendans fe rv ent à donner en
nombre le rapport des fons qu’on ne peut confidé-
r e r comme des quantités qu’à la fav eur de ces calculs.
L e troifieme fo n , engendré par le concours de
deux autres, eft comme le produit de leurs quantit
é s ; & quand dans une cathégorie commune, ce
troifieme fon fe trouve toujours le même quoiqu’ên-
gendré par des intervalles différens, c ’eft que les
produits des générateurs font égaux entre eux.
C e c i fe déduit manifeftement des propoficions
précédentes. Quel e f t , p ar exemple, le troifieme fon
qui réfulte de C B & de G B ? (fig . 9. ) C ’eft l ’unif-
fon de C B. Pourquoi ? Parce que dans les deux proportions
harmoniques, dont les quarré« des d e u x
ordonnées C , C G , 6c G , G G , font moyens prop
o rtion nels, les fommes des extrêmes font égales
entre e lle s , & par conféquent produifent le même
fon commun C B , ou C , C C . En e ffe t, la fomme
des deux rettangles de B C par C , C C , & de A C
pa r C , C C eft égale a la fomme des deux re&angles
de B G par C , C C , & de G A par C , C C : car chacune
de ces deux fommes eft égale à deux fois le
quarré du rayon. D ’où il fuit que le fon C , C C ou
C B , doit être commun aux deux cordes : o r ce fon
eft précifémentla note Q de l’exemple O. Quelques
ordonnées que vous puifliez prendre dans le cercle
pour les comparer deux à d e u x , ou même trois à
t ro is , elles engendreront toujours le même troifieme
fon repréfenté par la note Q ; parce que les re&an-
gles des deux parties du diamètre par le ra yo n donneront
toujours des fommes égales. Mais l’o&ave X
Q n’ engendre que des harmoniques à l’aigu, & point
de fon fondamental, parce qu’ on ne peut élever
d’ordonnée fur l’extrémité du diamètre, & que par
conféquent le diamètre & le ra yon ne fauroient,
dans leur proportion harmonique, avoir aucun produit
commun.
A u-lieu de divifer harmoniquement le diamètre
par le s fra& ion s 7 7 7 7 7 ,-q u i donne le fyftème naturel
de l’accord majeur, fi on le divife arithmétiquement
en fix parties égales (voye^fig. n . ) on
aura le fyftème de l’accord majeur ren v e r fé , & ce
renverfement donne exaftement l’accord mineur :
c ar une de ces parties donnera la dix - n euvième,
deux donneront la douzième, trois donneront l ’oct
a v e , quatre la quinte, & c inq la tierce mineure.
ique- mm iig Mais aufli - tôt qu’ uniffant deux de ces fons on
cherchera le troifieme fon qu’ils en g en d ren t/ce s
deux fons fimultanés, au-lieu du fon C (fig. 1 2 . ) ne
produiront jamais pour fondamental que le fon E ^
ce qui prouve que ni l’accord min eur, ni fon mode
ne font donnés par la nature. Que fi l’on fait conion-
ner deux ou plufieurs intervalles de l’a ccord mineur
les fons fondamentaux fe multiplieront; & re lativement
à ces fons , on entendra plufieurs accords majeurs
à-la-fois fans aucun accord mineur. F o y e r c i-
d e v ant, PI. X I . fig . 6 . & ce qui en eft dit.
P L A N C H E X I I I .
La fig. i.rep re fen te l’échelle diatonique commit-
n e , comparée à celle des aliquo te s, donnée par les
divifions naturelles des c o r s , trompettes marines,
& autres inftrumens femblables, félon M. Baliere
( Théorie de la Mufique) ; par la comparaifon de ces
deux échelles on vo it en même tems la caufe des
tons faux donnes par ces inftrumens. Cependant
l’échelle commune, poiir n’être pas d’accord av e c
la férié des aliquo te s, n’ën a pas moins une origine
phyfique & naturelle, qu’il faut développer.
La portion de la p remière férié O ( fig , 9 . PI. X I I .)
qui détermine le fyftème harmonique, e ft la fe fq u i-
altere ou quinte C G , c’ eft-à-dire l’o& ave harmoniquement
divifée. Or lés deux termes, qui corref-
pondent à ceux-là dans la férié P des complémens (fig. 10 . PI. X I I . ) font les notes G F . Ces de ux cordes
font mo yennes, l’ iïne harmonique & l’autre arithmétique
entre la corde entière & fa mo itié, ou
entre le diamètre & lé ra yon ; & ces deux m o yennes
G & F fe rapportant toutes deux à la même fondamentale,
déterminent le ton & même le m o d e ,
puifque la proportion harmonique y d om in e , Sc
qu’elles paroiffent avant la génération du mode mineur
: n ’a y ant donc d’autre lo i que celle qui eft
déterminée par la férié harmonique dont elles dérivent
, elles doivent en porter l’une & l’autre le ca-
rà&ere ; favoir l’accord p a r fa it ma jeu r9 compofé de
t ie r c e m a je u r S i <Jc quinte.
L a fig. 2 . repréfente la même échelle diatonique ,
le nom des intervalles compris entre les fons qui
la compofent, & le rapport de ces mêmes fons e x primes
conformement à c eux des trois accords parfaits
de la fig. 7 . PI. X I . On vo it en cette figure que
tous les intervalles font ju fte s , excepté l ’accord parfait
D F A , dans lequel la quinte D A eft foible d’un
comma, de même que la tierce mineure D F , à caufe
du ton mineur D E ; mais dans tout fyftème ce défaut
ou l’équivalent eft inévitable. L ’échelle une fois
é tab lie , le principal ufage des trois notes C , G , F , (fig. 7 . PI. X I . ) dont elle eft t iré e , eft la formation
des cadences, qui donnant un progrès de notes fondamentales
de l’une à l’autre , font la baffe de toute
la modulation. G étant moyen harmonique, & F
moyen arithmétique entre les deux termes de l’octave
, le paffage du mo yen à l’extrême forme une
cadence qui tire fon nom du m oyen qui la produit.
G C eft donc une cadence harmonique, F C une cadence
arithmétique, & l’on appelle cadence mixte celle
q u i, du moyen arithmétique paffant au moyen harmonique
, fe compofe des deux avant de fe réfoudre
fur l’extrême. (V o y e z fig. 3 .)
D e ces trois cadences, f harmonique eft la principale
& la première en ordre : fon effet eft d’ une har-
monie m â le , fo r te , & terminant un fens abfolu.'
Varithmétique eft foible , d o uce , & laiffe encore
quelque chofe à défirer. La cadence mixte fufpend
le fens & produit à-peu-près l’effet du point interro
gatif & admiratif. Dans la fucceflion naturelle de
ces trois cadences, telle qu’on la v o it en cette Planche
fig, j , réfulte exactement la baffe fondamentale